Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Vorlesung 45



Totale Differenzierbarkeit

Wir möchten Abbildungen zwischen endlichdimensionalen - Vektorräumen differenzieren, und allgemeiner Abbildungen

wobei eine gewisse offene Teilmenge ist. Wir wiederholen kurz die Situation in einer Variablen: Angenommen wir haben eine Abbildung , dann ist die Grundidee einer differenzierbaren Abbildung und ihrer Ableitung, eine „Tangente an den Graphen“ anzulegen. Dabei kann man sagen, dass die Tangente die beste lineare Approximation von (genauer: der Graph einer affin-linearen Approximation) in einem gegebenen Punkt darstellt. Da die Steigung der Tangente wieder eine reelle Zahl ist, wird beim Differenzieren jedem Punkt wieder eine Zahl zugeordnet. Wir erhalten also eine neue Funktion, welche wir mit bezeichnen. Im höherdimensionalen Fall ist dies komplizierter, aber die Idee einer bestmöglichen linearen Approximation bleibt bestehen.

Die Übereinstimmung der Konzepte wird auch deutlich, wenn man den Graphen einer Abbildung anschaut. Zu einer differenzierbaren Funktion schmiegt sich die Tangente im Punkt an den Graphen zu an. Zu einer Funktion

ist der Graph eine Teilmenge von , den man sich als ein Gebirge über der Ebene vorstellen sollte. Eine sinnvolle Fragestellung ist, ob es zu einem Punkt eine anschmiegende Tangentialebene an den Graphen zu gibt, die man als den Graphen einer affin-linearen Abbildung realisieren kann.

Im Folgenden nehmen wir an, dass alle Vektorräume endlichdimensional und mit einer euklidischen Norm versehen sind. Wie in der 37. Vorlesung gezeigt wurde, hängt die Topologie, also die Konzepte offene Menge, Stetigkeit, Konvergenz, nicht von der gewählten euklidischen Struktur ab. Bei statten wir den zugrunde liegenden reellen Vektorraum mit einer euklidischen Struktur aus.


Definition  

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge und eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt , wenn es eine - lineare Abbildung mit der Eigenschaft

gibt, wobei eine in stetige Abbildung mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.

Diese lineare Abbildung heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von an der Stelle und wird mit

bezeichnet.

Äquivalent zur totalen Differenzierbarkeit ist die Eigenschaft, dass der Ausdruck

für gegen konvergiert. Ebenfalls äquivalent ist die Eigenschaft, dass der Limes (von Funktionen)

existiert und gleich ist.

Das Konzept der totalen Differenzierbarkeit ist eher theoretisch und für konkrete Berechnungen nicht optimal. Wir werden später dieses Konzept mit dem Konzept der partiellen Ableitungen in Verbindung bringen, welches eher für Berechnungen geeignet ist, jedoch von Koordinaten, d.h. von der Auswahl einer Basis, abhängt (siehe auch Beispiel 45.11 weiter unten).

Der geometrische Gehalt tritt besonders im Fall deutlich hervor. Dann ist der Graph der affin-linearen Abbildung eine lineare Approximation des Graphen der Funktion im Punkt .


Beispiel  

Ist konstant mit für alle , so ist differenzierbar mit totalem Differential (siehe Aufgabe 45.5).




Proposition  

Es sei eine - lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen - Vektorräumen und .

Dann ist in jedem Punkt differenzierbar und stimmt in jedem Punkt mit ihrem totalen Differential überein.

Beweis  

Aufgrund der Linearität gilt

Also können wir wählen.



Beispiel  

Wir betrachten die Funktion

deren Graph die untere Hälfte der Kugel mit Radius und Mittelpunkt ist. Wir interessieren uns, ob im Nullpunkt total differenzierbar ist. Aus Symmetriegründen kommt als totales Differential nur die Nullabbildung in Frage. Es geht somit darum, ob für gegen der Ausdruck

gegen konvergiert. Mit

ist dies

Wir wenden darauf die Regel von l'Hospital an. Der abgeleitete Nenner ist und der abgeleitete Zähler ist

und konvergiert gegen , so dass Konvergenz gegen vorliegt. Die Nullabbildung ist also in der Tat das totale Differential.




Lemma  

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und sei die Abbildung auf einer offenen Teilmenge definiert. Sei ein Punkt.

Dann existiert höchstens eine lineare Abbildung mit den Eigenschaften aus Definition 45.1.

Ist im Punkt differenzierbar, so ist das totale Differential eindeutig bestimmt.

Beweis  

Angenommen, es gelte

und

mit linearen Abbildungen und und mit im Punkt stetigen Funktionen mit . Wir müssen zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab (da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint) und erhalten die Gleichung

Daher müssen wir zeigen, dass die (konstante) Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung ihre einzige lineare Approximation ist.  Wir nehmen daher an, dass

gilt, wobei linear und eine in stetige Funktion mit ist. Wenn nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor mit . Dann gilt für

Dies impliziert, dass für gilt. Die Norm von ist daher konstant gleich . Also gilt , ein Widerspruch.



Proposition  

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und es sei eine offene Teilmenge. Es seien im Punkt differenzierbare Abbildungen mit den totalen Differentialen und .

Dann ist auch in differenzierbar und es gilt

Ebenso gilt für alle .

Beweis  

Sei und . Dann gilt

Wir erhalten also die gewünschte Gestalt, da auch in stetig mit ist. Der Beweis der zweiten Aussage ist ähnlich.



Proposition  

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und eine offene Teilmenge. Es sei eine in differenzierbare Abbildung.

Dann ist auch stetig im Punkt .

Beweis  

Nach Definition gilt Die rechte Seite ist stetig (nach Definition 45.1 und Satz 34.10) in . Damit ist stetig in .



Die Kettenregel

Die Eleganz des totalen Differentials wird in der folgenden allgemeinen Version der Kettenregel deutlich.



Satz  

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist.

Dann ist in differenzierbar mit dem totalen Differential

Beweis  

Wir haben nach Voraussetzung (wobei wir setzen)

und

mit linearen Abbildungen und , und mit in stetigen Funktionen und , die beide in den Wert annehmen. Damit gilt

Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für

eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für . Der Ausdruck

ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand ist in stetig und hat dort auch den Wert . Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der -Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da auf der kompakten Einheitssphäre nach Satz 36.11 beschränkt ist und da in stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber hat für den Grenzwert . Damit ist auch in stetig und hat dort den Grenzwert .


Im folgenden Beispiel verwenden wir, dass man das totale Differential unter recht schwachen Bedingungen mit der Jacobi-Matrix beschreiben kann, was wir in der nächsten Vorlesung begründen werden.


Beispiel  

Wir betrachten die Funktion

aus Beispiel 45.4 in einem beliebigen Punkt . Wir schreiben die Abbildung als Hintereinanderschaltung von

Die erste Funktion ist überall total differenzierbar mit der Jacobi-Matrix

und die zweite Funktion ist für differenzierbar mit der Ableitung . Die Gesamtabbildung ist somit nach der Kettenregel ebenfalls total differenzierbar mit dem totalen Differential




Lemma

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge, ein Punkt, und in differenzierbare Abbildungen.

Dann ist die Produktabbildung

in differenzierbar mit

Beweis

Siehe Aufgabe 45.21.


Das folgende Beispiel illustriert, dass das totale Differential unabhängig von der Wahl einer Basis ist, die partiellen Ableitungen aber nicht.


Beispiel  

Wir betrachten die Abbildung , die durch

gegeben sei. Es ist leicht die partiellen Ableitungen in jedem Punkt zu berechnen, nämlich:

Wir werden in der nächsten Vorlesung sehen, dass diese Abbildung in jedem Punkt total differenzierbar ist, und dass die Jacobi-Matrix das totale Differential beschreibt.

Nehmen wir nun an, dass wir nur an der Restriktion dieser Funktion auf die Ebene

interessiert sind. ist also der Kern der linearen Abbildung

Als Kern ist selbst ein (zweidimensionaler) Vektorraum. Die Einschränkung von auf die Ebene ergibt also die Abbildung

Diese Abbildung kann man als die Komposition auffassen und diese ist nach der Kettenregel differenzierbar. Wenn wir die Inklusion von in mit bezeichnen, so ist das totale Differential der Komposition in einem Punkt gemäß der Kettenregel gerade die Abbildung

Daher ergibt es hier Sinn vom totalen Differential zu sprechen.

Es ergibt allerdings keinen Sinn von partiellen Ableitungen der Abbildung zu sprechen, da es keine natürliche Basis auf gibt und daher auch keine natürlichen Koordinaten. Es ist leicht eine Basis von zu finden und damit Koordinaten, es gibt aber keine „beste Wahl“, und die partiellen Ableitungen sehen in jeder Basis verschieden aus.

Eine Basis von ist beispielsweise durch und gegeben, und eine weitere durch und . Mit solchen Basen erhalten wir Identifikationen und somit numerische Beschreibungen der Abbildung , womit wir die partiellen Ableitungen bezüglich der gewählten Basen berechnen können.

In der ersten Basis ist die Identifikation gegeben durch die Abbildung

und dieser Ausdruck wird durch abgebildet auf

Die partiellen Ableitungen dieser Komposition (nennen wir sie ) bezüglich dieser Basis sind gegeben durch

und

In der zweiten Basis und ist die Identifikation gegeben durch

und dieser Ausdruck wird unter abgebildet auf

Die partiellen Ableitungen der Komposition (nennen wir sie ) bezüglich dieser Basis sind

und

Fazit: Koordinaten sind manchmal gut für Berechnungen, manchmal verdunklen sie aber auch den eigentlichen mathematischen Sachverhalt.



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