Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 45



Übungsaufgaben

Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden.

Aufgabe

Ist die Funktion

im Punkt total differenzierbar? Was ist das totale Differential in diesem Punkt?


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

  1. Man schreibe als

    mit geeigneten Termen , wobei und nicht von und abhängen dürfen.

  2. Man folgere aus der Darstellung aus (1), dass in einem beliebigen Punkt total differenzierbar ist.


Aufgabe

Berechne für die Addition

und für die Multiplikation

das totale Differential.


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

  1. Skizziere die Funktion.
  2. Zeige, dass stetig ist.
  3. Bestimme für jeden Punkt und jede Richung , ob die Richtungsableitung in diesem Punkt und in diese Richtung existiert.
  4. Bestimme für jeden Punkt, ob in diesem Punkt die Funktion total differenzierbar ist.


Aufgabe

Es sei konstant mit für alle . Zeige, dass differenzierbar ist mit totalem Differential .


Aufgabe

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und eine offene Teilmenge. Es sei im Punkt differenzierbar mit dem Differential . Zeige, dass für alle die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei

eine Polynomfunktion. Zeige, dass im Nullpunkt total differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.


Aufgabe

Es sei

eine Polynomfunktion. Zeige, dass in jedem Punkt total differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.


Aufgabe

Es seien , und endlichdimensionale - Vektorräume.

  1. Es seien und - lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

    -linear ist.

  2. Es seien und im Punkt differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

    im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential


Die folgende Aufgabe verwendet das Konzept Äquivalenzrelation.

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation , die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).

  1. Es ist (reflexiv).
  2. Aus folgt (symmetrisch).
  3. Aus und folgt (transitiv).

Dabei bedeutet , dass das Paar zu gehört.

Aufgabe

Es seien endlichdimensionale - Vektorräume und eine offene Teilmenge. Weiter seien Abbildungen und . Wir nennen im Punkt tangential äquivalent, wenn der Limes

existiert und gleich ist.

  1. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf der Abbildungsmenge von nach gegeben ist.
  2. Es sei total differenzierbar. Zeige, dass zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
  3. Es seien und tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall genau dann in total differenzierbar ist, wenn dies für gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt übereinstimmen.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Zeige, dass die Skalarmultiplikation

in jedem Punkt total differenzierbar ist mit


Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.


Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven (für eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Umparametrisierung ) ab.


Aufgabe *

Es sei ein Intervall, ein reeller Vektorraum und

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

besteht.


Aufgabe *

Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum , sei eine total differenzierbare Funktion und eine differenzierbare Funktion. Zeige

für .


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und seien

zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 45.4.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine offene Teilmenge. Weiter seien zwei in differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 45.4 auf das Diagramm

an, um zu zeigen, dass die Gleichung

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge, eine Abbildung und eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist differenzierbar in mit dem totalen Differential .
  2. Der Limes

    existiert und ist gleich .

  3. Der Limes

    existiert und ist gleich .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art mit einem festen Vektor , wenn

für alle ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Mengen, ein Punkt, und in differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann die Produktabbildung

in differenzierbar ist mit

Tipp: Verwende Aufgabe 45.12 und die Kettenregel.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine im Punkt komplex differenzierbare Funktion. Zeige, dass auch als Funktion von nach im reellen Sinn total differenzierbar ist. In welcher Beziehung steht die komplexe Zahl und das totale Differential ?



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