Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 46

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine total differenzierbare Abbildung mit ${}\left(D\varphi \right)_{P}=0$ für alle ${}P\in V$. Zeige, dass ${}\varphi$ konstant ist.

Kommentar:

Wir wollen beweisen, dass die Funktion ${}\varphi$ auf ${}V$ konstant ist. Dafür reicht es für einen beliebigen Punkt ${}P\in V$ eine kleine Umgebung ${}U_{P}\subset V$ zu betrachten und zu zeigen, dass der Funktionswert in ${}P$ mit dem eines beliebig Punktes ${}Q\in U_{P}$ übereinstimmt. ${}Q$ lässt sich schreiben als ${}P+v$ für ein ${}v\in V$. Da ${}\varphi$ überall total differenzierbar ist, mit ${}\left(D\varphi \right)_{P}=0$, folgt mit Proposition 46.1, dass ${}\varphi$ in Richtung ${}v$ differenzierbar ist mit Richtungsableitung ${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0$. Insbesondere können wir das für alle Punkte auf der Verbindungslinie zwischen ${}P$ und ${}Q=P+v$ machen. Betrachten wir nun ${}\varphi$ nur auf diesem Verbindungsstück, erhalten wir die differenzierbare Kurve

$[0,1]\longrightarrow W,\,t\longmapsto \varphi (P+tv),$

deren Ableitung konstant Null ist. Die Komponenten der Kurve sind nun eindimensionale differenzierbare Funktionen mit Ableitung null, siehe Lemma 37.4. Hier lässt sich nun mit Hilfe des Mittelwertsatzes, Satz 19.3 die Gleichheit der Komponenten von ${}\varphi$ an Anfangs und Endpunkt der Kurve zeigen.

 

Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(xy-2y^{3}+5,\,x^{3}-xy^{2}+y\right),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(1,2)$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(4,-3)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy-zy+2z^{2},\sin(x^{2}yz)),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(1,-1,\pi )$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(2,0,5)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},xy,\exp x),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(3,2)$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(-1,-7)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe

Bestimme das totale Differential der Determinante

$\det \colon \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,M\longmapsto \det M,$

für ${}n=2,3$ an der Einheitsmatrix.

Aufgabe *

Wie betrachten die komplexe Invertierung

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{-1}.$

1. Bestimme die Ableitung ${}f'(z)$ von ${}f$.
2. Beschreibe die Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   mit den reellen Koordinaten ${}x,y$ (bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ von ${}{\mathbb {C} }$).

3. Bestimme das totale Differential zu ${}f$ bezüglich der Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ in einem beliebigen Punkt.
4. Beschreibe die Multiplikation mit ${}f'(z)$ auf ${}{\mathbb {C} }$ durch eine reelle Matrix bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe *

Bestätige die Kettenregel für ${}g\circ f$ für die beiden differenzierbaren Abbildungen

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{3}-t,-t^{2}),$

und

$g\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy+x+y.$

Aufgabe

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v^{2},u+\sin v,v^{3}),$

und

$\psi \colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}y-z^{2},xy^{2}+yz\exp x),$

und ihrer Komposition ${}\psi \circ \varphi$ in folgenden Schritten.

1. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
2. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}Q\in {\mathbb {K} }^{3}$ das totale Differential ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
3. Berechne explizit die Komposition ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
5. Berechne das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$ in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).

Aufgabe

Es seien ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen, und ${}f\colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ und ${}g\colon D\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ Abbildungen derart, dass ${}f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}f$ in ${}P\in G$ und ${}g$ in ${}f(P)\in D$ total differenzierbar ist. Zeige

${}{\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)=\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{1}}}(f(P)),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{m}}}(f(P))\right){\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\end{pmatrix}}\,.$

Kommentar:

Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, mit den Jacobi-Matrizen zu ${}f$ und ${}g$ zu arbeiten.

Die Jacobi-Matrix zu ${}f$ ist gegeben durch

$\operatorname {Jak} (f)_{P}=\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)_{1\leq j\leq m, \atop 1\leq i\leq n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,.$

Hierbei sollte man darauf achten, dass die Spalten über die Koordinaten ${}x_{1},\dots ,x_{n}$ indiziert sind (man sollte die Matrix nicht versehentlich transponieren), weil wir die Matrix als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung vom ${}n$-dimensionalen in den ${}m$-dimensionalen Raum auffassen. Das heißt, wir wollen den Koordinatenvektor ${}(x_{1},\dots ,x_{n})$ von rechts an die Matrix dranmultiplizieren können.

Für die Jacobi-Matrix der Verknüpfung gilt nun

${}\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}=\operatorname {Jak} (g)_{f(P)}\circ \operatorname {Jak} (f)_{P}\,$

nach Satz .. Die zu zeigende Aussage lässt sich daraus direkt ableiten, denn ${}{\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$ ist ein Eintrag der Matrix ${}\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}$.

 

Aufgabe

Es seien ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{m}$ und ${}D\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offene Mengen, und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{n}$ und ${}g\colon D\rightarrow {\mathbb {K} }^{k}$ Abbildungen derart, dass ${}f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}f$ und ${}g$ ${}\ell$-fach stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch ${}g\circ f$ ${}\ell$-fach stetig differenzierbar ist.

Aufgabe

Es seien

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

und

$\psi \colon W\longrightarrow U$

in ${}P\in V$ bzw. in ${}\varphi (P)\in W$ total differenzierbare Abbildungen. Es sei ${}v\in V$ ein Vektor. Zeige mit der Kettenregel, dass

${}{\left(D_{v}(\psi \circ \varphi )\right)}{\left(P\right)}={\left(D_{{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}}(\psi )\right)}{\left(\varphi (P)\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}G\subseteq {\mathbb {R} }^{m}$ und ${}D\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offene Mengen, und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ und ${}g\colon D\rightarrow {\mathbb {R} }^{k}$ Abbildungen derart, dass ${}f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}f$ und ${}g$ stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch ${}g\circ f$ stetig differenzierbar ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für partiell differenzierbare Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ und ${}g\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ derart, dass ${}g\circ f$ nicht partiell differenzierbar ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für partiell differenzierbare Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ und ${}g\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ derart, dass auch ${}g\circ f$ partiell differenzierbar ist, dass aber

${}\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}=\operatorname {Jak} (g)_{f(P)}\circ \operatorname {Jak} (f)_{P}\,$

nicht gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xf(y),$

genau dann im Punkt ${}(0,0)$ total differenzierbar ist, wenn ${}f$ in ${}0$ stetig ist.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume, ${}G\subseteq V$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann stetig differenzierbar ist, wenn ${}\varphi$ total differenzierbar ist und wenn die Abbildung

$G\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(V,W),\,P\longmapsto \left(D\varphi \right)_{P},$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

differenzierbar im Nullpunkt und sei ${}{(h_{m})}_{m\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ mit

$\lim _{m\to \infty }h_{m}=0,\lim _{m\to \infty }{\frac {h_{m}}{\Vert {h_{m}}\Vert }}=v\in \mathbb {R} ^{n},f(h_{m})=f(h_{k}){\text{ für alle }}m,k\in \mathbb {N} .$

Zeige, dass ${}v$ ein Eigenvektor von ${}\left(Df\right)_{0}$ zum Eigenwert ${}0$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x,y):={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,.\end{cases}}\,$

a) Zeige, dass ${}f$ stetig ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu ${}f$ im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.

d) Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, ${}P\in M$ ein Punkt und es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Es sei ${}h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine streng wachsende Funktion. Zeige, dass ${}f$ in ${}P$ genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn ${}h\circ f$ ein lokales Maximum in ${}P$ besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine stetige Abbildung. Es sei

${}\varphi (P)=Q\,$

und es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die im Punkt ${}Q\in M$ ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass

$f\circ \varphi$

in ${}P$ ein lokales Extremum besitzt.

Kommentar:

Hier haben wir eine typische Beweisaufgabe, in der mathematische Objekte mit speziellen Eigenschaften gegeben sind und daraus soll die Eigenschaft eines weiteren im Zusammenhang stehenden Objektes gezeigt werden. Konkret, wir haben eine stetige Abbildung ${}\varphi$ und eine Funktion ${}f$ mit einem lokalen Extremum im Punkt ${}Q$. Jetzt soll gezeigt werden, dass das lokale Extremum erhalten bleibt, nachdem ${}\varphi$ in ${}f$ eingesetzt wird. Dann aber, wegen der Verknüpfung, in dem Punkt ${}P$, der durch ${}\varphi$ zum ursprünglichen Punkt ${}Q$ des lokalen Extremums "geschickt" wird.

Die Eigenschaft, dass ${}\varphi$ stetig ist, ist dabei natürlich entscheidend. Nehmen wir uns hierfür als Beispiel eine einfache reelle Funktion ${}f(x)=x^{3}-x$ mit Ableitung ${}f'(x)=3x^{2}-1$. Diese hat ein lokales Minimum (dies ist kein globales Minimum, ein Plot der Funktion ist hilfreich) in ${}1/{\sqrt {3}}$

mit Wert ${}f(1/{\sqrt {3}})\approx -1.54$. Wählen wir nun

$\varphi ={\begin{cases}-10,&t<0,\\1/{\sqrt {3}},&t=0,\\10,&t>0.\end{cases}}$

als eindeutig nicht stetige Funktion, sehen wir, dass diese in ${}f$ eingesetzt

$f(\varphi (t))={\begin{cases}-990,&t<0,\\f(1/{\sqrt {3}}),&t=0,\\990,&t>0,\end{cases}}$

ergibt. Diese Funktion hat gewiss kein lokales Extremum mehr in ${}t=0$, dem Punkt der auf das lokale Extremum von ${}f$ geschickt wurde.

Zum Beweis der Aussage in der Aufgabenstellung sammlen wir die Eigenschaften. Dass ${}\varphi$ stetig ist, bedeutet, dass es in jedem Punkt stetig ist. Somit insbesondere im Punkt ${}P$. Das wiederum heißt, für jedes ${}\epsilon _{1}>0$ existiert ein ${}\delta >0$, sodass

$\varphi (B(P,\delta ))\subset B(\varphi (P),\epsilon _{1})=B(Q,\epsilon _{1}).$

Mit Worten, in einer Umbebung von ${}P$ bleiben wir nach Abbilden mit ${}\varphi$ in einer Umgebung von ${}Q$. Weiterhin hat die Funktion ${}f$ in ${}Q$ ein lokales Extremum

(wir nehmen ohne Einschränkung an, dass dies ein lokales Minimum ist, für ein Maximum geht das genau so), d.h. es exisitert ein ${}\epsilon _{2}>0$ mit

$f(Q)\leq f(x),{\text{ für alle }}x\in B(Q,\epsilon _{2}).$

Mit Worten, in einer Umgebung von ${}Q$ ist der Funktionswert von ${}f$ immer größer oder gleich dem Funktionswert in ${}Q$ selbst.

Jetzt ist die Frage, ob die Verknüpfung ${}f\circ \varphi$ ein lokales Minimum in ${}P$ besitzt, also ein ${}\epsilon _{3}$ existiert mit

$f(\varphi (P))\leq f(\varphi (t)),{\text{ für alle }}t\in B(P,\epsilon _{3}).$

Es wäre also gut, wenn ${}\varphi$ garantiert, dass wir von ${}B(P,\epsilon _{3})$ in ${}B(Q,\epsilon _{2})$ landen, denn dann nutzen dass ${}f$ in ${}Q$ das lokale Minimum hat. Das erledigt die Stetigkeit von ${}\varphi$. Wie kann ${}\epsilon _{3}$ dann gewählt werden?

 

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von ${}0$ verschiedene lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

Aufgabe *

Es sei ${}f$ ein Polynom in zwei Variablen der Bauart

${}f(x,y)=x^{2}+y^{2}+\sum _{(r_{1},r_{2})\in \mathbb {N} ^{2},\,r_{1}+r_{2}\geq 3}a_{(r_{1},r_{2})}x^{r_{1}}y^{r_{2}}\,.$

Zeige ohne Differentialrechnung, dass ${}f$ im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten ${}a_{(r_{1},r_{2})}$ ein ${}\epsilon >0$ derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}U{\left(0,\epsilon \right)}$ außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (uv,u-v,v^{2}),$

und

$\psi \colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},y\exp(xz)),$

und ihrer Komposition ${}\psi \circ \varphi$ veranschaulichen.

1. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
2. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}Q\in {\mathbb {K} }^{3}$ das totale Differential ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
3. Berechne explizit die Komposition ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
5. Berechne das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$ in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).

Aufgabe (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

$\mathbb {R} ^{2}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{3}{\stackrel {g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{2}{\stackrel {h}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{2}$

mit

$f(u,v)=(u^{2},uv,u-v^{2}),$

$g(x,y,z)=(x+y^{2}-z,x^{2}yz),$

und

$h(r,s)=(r^{2}s,s^{2}).$

Berechne das totale Differential von ${}h\circ g\circ f$ in einem beliebigen Punkt ${}P=(u,v)$ auf vier verschiedene Arten.

Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\text{ bei }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ bei }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}$

auf partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}\setminus \{0\}$

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,P\longmapsto \Vert {f(P)}\Vert ,$

differenzierbar ist und bestimme das totale Differential davon.

Aufgabe (10 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Kurve

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

und eine stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

für die die Richtungsableitung in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung

$f\circ \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

nicht differenzierbar ist.