Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 47



Übungsaufgaben

Es sei ein Körper und ein - Vektorraum von endlicher Dimension. Zeige, dass der Dualraum die gleiche Dimension wie besitzt.



Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Basis . Es sei

der Dualraum zu . Zeige, dass auf die Koordinatenfunktionen , die durch

definiert sind, eine Basis von bilden.



Betrachte die Linearform

  1. Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft

    wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.

  2. Es sei

    und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft

    wobei die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf bezeichnet.





Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei

eine Linearform und der zugehörige Gradient im Sinne von Lemma 47.5. Zeige, dass der Gradient zur Einschränkung die orthogonale Projektion von auf ist.



Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?



Berechne den Gradienten der Funktion

in jedem Punkt .



Berechne den Gradienten der Funktion

in jedem Punkt mit



Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass und im Punkt den gleichen Gradienten besitzen.



Wir betrachten Dreiecke mit den beiden fixierten Eckpunkten und und dem variablen Eckpunkt .

  1. Erstelle eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes mit den Eckpunkten .
  2. Erstelle eine Formel für den Umfang des Dreieckes mit den Eckpunkten .
  3. In welche Richtung muss man den dritten Punkt bewegen, damit der Flächeninhalt möglichst schnell wächst?
  4. In welche Richtung muss man den dritten Punkt bewegen, damit der Umfang möglichst schnell wächst?



Wir betrachten ein Ballspiel, bei dem das Tor durch die Eckpfosten und gegeben ist. Der Ball (bzw. der ballführende Spieler) befindet sich in der variablen Position . Die Wahrscheinlichkeit, von einer bestimmten Position aus ein Tor zu erzielen, hänge direkt vom Winkel (Torschusswinkel) ab, der das Dreieck im Punkt besitzt (man denke an die Situation, wo der Spieler allein vor dem leeren Tor steht und es allein auf die Zielgenauigkeit ankommt).

  1. Erstelle eine Formel für den Torschusswinkel in Abhängigkeit von der Ballposition .
  2. Skizziere die Menge der Punkte, für die der Toreinschusswinkel gleich Grad ist.
  3. In welche Richtung muss der Ball bewegt werden, damit der Torschusswinkel möglichst schnell wächst?



Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor genau dann zum Kern von gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ist.



Bestimme die kritischen Punkte der Funktion



Bestimme die kritischen Punkte der Funktion



Bestimme die kritischen Punkte der Funktion



Es seien und Mengen und ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion

über einem Punkt . Kann die Faser leer sein?



Seien und Mengen und seien

Abbildungen. Zu einem Punkt sei die Faser von über . Zeige, dass die Faser der Produktabbildung über gleich ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Anstieg der Funktion

im Punkt in Richtung des Winkels . Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?



Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

  1. Bestimme den Gradienten von im Punkt bezüglich des Standardskalarprodukts .
  2. Es sei

    und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Gradienten von bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf .

  3. Zeige, dass die orthogonale Projektion von auf ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion



Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte zur Funktion

aus Beispiel 46.9.



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