Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 47
- Übungsaufgaben
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum von endlicher Dimension. Zeige, dass der Dualraum die gleiche Dimension wie besitzt.
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Basis . Es sei
der Dualraum zu . Zeige, dass auf die Koordinatenfunktionen , die durch
definiert sind, eine Basis von bilden.
Betrachte die Linearform
- Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft
wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.
- Es sei
und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft
wobei die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf bezeichnet.
Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.
Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei
eine Linearform und der zugehörige Gradient im Sinne von Lemma 47.5. Zeige, dass der Gradient zur Einschränkung die orthogonale Projektion von auf ist.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung
keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?
Kommentar:
Zur Wiederholung, der Gradient gehört nach Definition . zu einer differenzierbaren Funktion
die von einer offenen Teilmenge eines euklidischen Vektorraums in die reellen Zahlen abbildet. Euklidisch ist wichtig, da wir dann ein Skalarprodukt haben und somit das total Differential zu einem festen Punkt (welches eine lineare Funktion von nach ist, siehe die Definition .) mit Hilfe eines eindeutigen Vektors und des Skalarproduktes darstellen lässt. Das heißt es gibt ein , sodass wir für alle
haben. Der Vektor wird dann Gradient (zum gewählten Skalarprodukt) genannt.
In dieser Aufgabe ist nicht erwähnt, welches Skalarprodukt verwendet werden soll, deshalb gehen wir von dem Standardskalarprodukt aus. Das totale Differential von ist bezüglich der Standardbasis in nach Satz . gegeben durch
Die partiellen Ableitungen müssen noch berechnet werden, das bleibt Übung. Es ist ein Zeilenvektor, der (als Matrix mit einer Zeile aufgefasst) die lineare Abbildung des totalen Differentials in der Standardbasis repräsentiert. Das totale Differential wirkt demnach auf einen Vektor im , als Spaltenvektor aufgefasst, durch die übliche Zeile-mal-Spalte Matrix-Vektor-Multiplikation. Dies ist aber nichts anderes als das Standardskalarprodukt des totalen Differentials und des Vektors . Deswegen ist in diesem Fall der Gradient schon der Zeilenvektor des totalen Differentials als Element im aufgefasst,
Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und
eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass und im Punkt den gleichen Gradienten besitzen.
Wir betrachten Dreiecke mit den beiden fixierten Eckpunkten und und dem variablen Eckpunkt .
- Erstelle eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes mit den Eckpunkten .
- Erstelle eine Formel für den Umfang des Dreieckes mit den Eckpunkten .
- In welche Richtung muss man den dritten Punkt bewegen, damit der Flächeninhalt möglichst schnell wächst?
- In welche Richtung muss man den dritten Punkt bewegen, damit der Umfang möglichst schnell wächst?
Wir betrachten ein Ballspiel, bei dem das Tor durch die Eckpfosten und gegeben ist. Der Ball (bzw. der ballführende Spieler) befindet sich in der variablen Position . Die Wahrscheinlichkeit, von einer bestimmten Position aus ein Tor zu erzielen, hänge direkt vom Winkel (Torschusswinkel) ab, der das Dreieck im Punkt besitzt (man denke an die Situation, wo der Spieler allein vor dem leeren Tor steht und es allein auf die Zielgenauigkeit ankommt).
- Erstelle eine Formel für den Torschusswinkel in Abhängigkeit von der Ballposition .
- Skizziere die Menge der Punkte, für die der Toreinschusswinkel gleich Grad ist.
- In welche Richtung muss der Ball bewegt werden, damit der Torschusswinkel möglichst schnell wächst?
Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und
eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor genau dann zum Kern von gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ist.
Kommentar:
Auf den ersten Blick scheint dies vielleicht eine schwierige Beweisaufgabe zu sein. Aber wenn die Definitionen und Eigenschaften der beteiligten mathematischen Objekte klar sind, ist das ganze nur noch halb so wild.
Ein Vektor soll zum Kern vom totalen Differntial von im Punkt gehören. Das totale Differential ist eine lineare Abbildung von nach und der Kern von ist die Menge aller Elemente aus die durch auf Null abgebildet werden.
ist der Gradient von im Punkt und hängt, wie wir gelernt haben, stark mit dem obigen totalen Differential zusammen. Er ist ein Vektor im Vektorraum und zwar genau der eindeutige Vektor, der es erlaubt, das totale Differential mit Hilfe des gewählten oder gegebenen Skalarproduktes auszudrücken. Das heißt es gilt
für alle .
Mit Hilfe dieser Darstellung kann nun der Zusammenhang zwischen ist im Kern von und der Orthogonalität zum Gradienten bezüglich des Skalarproduktes hergestellt werden.
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Es seien und Mengen und ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion
Seien und Mengen und seien
Abbildungen. Zu einem Punkt sei die Faser von über . Zeige, dass die Faser der Produktabbildung über gleich ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Berechne den Anstieg der Funktion
im Punkt in Richtung des Winkels . Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?
Aufgabe (5 Punkte)
Betrachte die Funktion
- Bestimme den Gradienten von im Punkt bezüglich des Standardskalarprodukts .
- Es sei
und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Gradienten von bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf .
- Zeige, dass die orthogonale Projektion von auf ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Aufgabe (5 Punkte)
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