Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 44



Übungsaufgaben

Bestimme in den Beispielen aus Aufgabe 34.23 die Ableitungen der Funktionen in den Funktionsscharen und die beiden partiellen Ableitungen der Gesamtfunktionen nach und nach .



Bestimme das Minimum der Funktion

in Abhängigkeit von und . Was hat dies mit partiellen Ableitungen zu tun?



Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion



Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion



Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung



Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung



Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung



Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in jedem Punkt.



Beschreibe die Abbildung

in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix. Ebenso für .



Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung

die sich mit den beiden Standardrichtungen und ausdrücken lassen.



Eine Schlange ist im ausgestreckten Ruhezustand einen Meter lang und ziemlich dünn, sie wird durch ihre Länge (gemessen vom Kopf bis zum Schlangenende) parametrisiert. Die Schlange schlängelt sich im Zeitintervall über den Boden. Diese Bewegung wird durch eine differenzierbare Abbildung

beschrieben, dabei bezeichnet den Ortspunkt, wo sich zum Zeitpunkt der Schlangenpunkt befindet.

  1. Welche Signifikanz besitzt die Abbildung
  2. Welche Signifikanz besitzt die Abbildung

    zu einem festen Zeitpunkt ?

  3. Welche Signifikanz besitzt die Bedingung

    für ein (für alle) .

  4. Welche Signifikanz besitzt die Bedingung

    für alle und alle ?



Wir betrachten für die Funktionen

mit

  1. Skizziere das Bild der Funktion für die Parameter
  2. Zeige, dass die stetig sind.
  3. Zeige, dass die differenzierbar sind.
  4. Zeige, dass die Kurvenlänge der gleich ist.



Wir definieren

durch

wobei die Funktionsschar aus Aufgabe 44.12 ist (es ist also der Parameter abhängig von ). Welche Eigenschaften von Aufgabe 44.11 sind erfüllt?



Es sei

Zeige, dass die Wärmeleitungsgleichung

erfüllt.



Zeige, dass eine Polynomfunktion beliebig oft stetig differenzierbar ist.



Man gebe ein Beispiel für eine Funktion

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.



Es seien zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu sei in jedem Punkt von verschieden.

  1. Zeige, dass bei die Determinante konstant ist.
  2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei die Determinante nicht konstant sein muss.



Zeige für Polynomfunktionen

direkt, dass

gilt.



Es seien und endlichdimensionale, - Vektorräume offen und

eine -mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei eine Auswahl von Vektoren aus . Zeige, dass dann für jede Permutation die Gleichheit

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung



Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

Berechne die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt in Richtung . Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor anwendet.



Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

existiert, sodass

für alle gilt.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein derart gibt, dass sämtliche -ten Richtungsableitungen sind.



Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen

derart gibt, dass

gilt.



Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

mit

zweimal partiell differenzierbar ist, und dass

gilt.



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