Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 44
- Übungsaufgaben
Bestimme in den Beispielen aus Aufgabe 34.23 die Ableitungen der Funktionen in den Funktionsscharen und die beiden partiellen Ableitungen der Gesamtfunktionen nach und nach .
Bestimme das Minimum der Funktion
in Abhängigkeit von und . Was hat dies mit partiellen Ableitungen zu tun?
Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion
Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
in jedem Punkt.
Kommentar:
Die komplexen Zahlen können wir mit identifizieren, indem der Realteil und der Imaginärteil jeweils als eine Koordinate im interpretiert wird. Dies ist genau das, was gemacht wird, wenn wir uns die komplexen Zahlen als komplexe Zahlenebene vorstellen. Eine komplexe Zahl mit imaginärer Einheit , Realteil und Imaginärteil entspricht dem Punkt .
Die gegebene Abbildung, die von nach geht, in reellen Koordinaten zu beschreiben heißt nun, die entsprechende Abbildung von der komplexen Zahlenebene in die komplexe Zahlenebene anzugeben, also von nach . Zu ist wegen oben klar, gehört der Punkt . Jetzt brauchen wir noch den Punkt, den wir nach Anwenden der Abbildung erhalten. Dazu setzen wir in der Form ein. Dann wird es abgebildet auf
Dies ist einfach die binomische Formel, nur muss man aufpassen, dass ist. Der Realteil dieser komplexen Zahl ist und ihr Imaginärteil ist . Dadurch wird die Abbildung in reellen Koordinaten zu
In jeder Komponente der Abbildung steht ein Polynom, weshalb diese partiell integrierbar sind (alle partiellen Ableitungen existieren in allen Punkten). Die Jacobi-Matrix erhalten wir nun durch Berechnung der partiellen Ableitungen in - und -Richtung. In der ersten Spalte stehen die Komponenten der Funktion nach abgeleitet und in der zweiten Spalte die nach abgeleitet. Wir erhalten im Punkt die Jacobi-Matrix
Der Rest der Aufgabe geht dann ähnlich.
Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung
die sich mit den beiden Standardrichtungen und ausdrücken lassen.
Eine Schlange ist im ausgestreckten Ruhezustand einen Meter lang und ziemlich dünn, sie wird durch ihre Länge (gemessen vom Kopf bis zum Schlangenende) parametrisiert. Die Schlange schlängelt sich im Zeitintervall über den Boden. Diese Bewegung wird durch eine differenzierbare Abbildung
beschrieben, dabei bezeichnet den Ortspunkt, wo sich zum Zeitpunkt der Schlangenpunkt befindet.
- Welche Signifikanz besitzt die Abbildung
- Welche Signifikanz besitzt die Abbildung
zu einem festen Zeitpunkt ?
- Welche Signifikanz besitzt die Bedingung
für ein (für alle) .
- Welche Signifikanz besitzt die Bedingung
für alle und alle ?
Wir betrachten für die Funktionen
mit
- Skizziere das Bild der Funktion für die Parameter
- Zeige, dass die stetig sind.
- Zeige, dass die differenzierbar sind.
- Zeige, dass die Kurvenlänge der gleich ist.
Wir definieren
durch
wobei die Funktionsschar aus Aufgabe 44.12 ist (es ist also der Parameter abhängig von ). Welche Eigenschaften von Aufgabe 44.11 sind erfüllt?
Es sei
Zeige, dass die Wärmeleitungsgleichung
erfüllt.
Zeige, dass eine Polynomfunktion beliebig oft stetig differenzierbar ist.
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion
die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.
Es seien zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und
die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu sei in jedem Punkt von verschieden.
- Zeige, dass bei die Determinante konstant ist.
- Zeige durch ein Beispiel, dass bei die Determinante nicht konstant sein muss.
Zeige für Polynomfunktionen
direkt, dass
gilt.
Es seien und endlichdimensionale, - Vektorräume offen und
eine -mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei eine Auswahl von Vektoren aus . Zeige, dass dann für jede Permutation die Gleichheit
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
Berechne die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt in Richtung . Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor anwendet.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein derart gibt, dass sämtliche -ten Richtungsableitungen sind.
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt
gelte. Zeige, dass es dann Funktionen
derart gibt, dass
gilt.
Aufgabe (6 Punkte)
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