Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 43

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy,$

1. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(1,0)$,
2. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(2,5)$,
3. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(1,0)$,
4. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(0,1)$,
5. im Punkt ${}(2,3)$ in Richtung ${}(-1,0)$,
6. im Punkt ${}(3,7)$ in Richtung ${}(5,-4)$.

Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}},$

1. im Punkt ${}(0,1)$ in Richtung ${}(1,0)$,
2. im Punkt ${}(0,1)$ in Richtung ${}(0,1)$,
3. im Punkt ${}(1,3)$ in Richtung ${}(2,4)$,
4. im Punkt ${}(-1,6)$ in Richtung ${}(-3,-1)$,
5. im Punkt ${}\left(1,\,{\frac {1}{100}}\right)$ in Richtung ${}(0,-1)$.

Aufgabe *

Bestimme zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2},$

die Richtungsableitung in Richtung ${}3$ für jeden Punkt.

Aufgabe *

Bestimme die Richtungsableitung von

${}f(x,y)=x^{3}+x^{2}y-y^{5}\,$

im Punkt ${}(4,-1)$ in Richtung ${}(-3,2)$.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R}$ genau dann differenzierbar ist, wenn ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}1$ differenzierbar ist, und dass dann die Gleichheit

${}{\left(D_{1}f\right)}{\left(P\right)}=f'(P)\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung einer Abbildung in Richtung ${}0$.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und ${}f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt und ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ genau dann differenzierbar ist, wenn die (auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um ${}0\in {\mathbb {K} }$ definierte) Kurve

$g\colon I\longrightarrow W,\,t\longmapsto g(t)=f(P+tv),$

differenzierbar ist, und dass in diesem Fall die Gleichheit

${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=g'(0)\,$

gilt.

Wie muss dabei das Intervall bzw. die offene Umgebung gewählt werden?

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und ${}v\in V$ ein Vektor. Es seien

$f,g\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen, die in Richtung ${}v$ differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch ${}fg$ in Richtung ${}v$ differenzierbar ist mit

${}D_{v}(fg)=fD_{v}g+gD_{v}f\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}\mathbb {R}$- Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und ${}v\in V$ ein Vektor. Es seien

$f,g\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

Funktionen, die in Richtung ${}v$ differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch ${}fg$ in Richtung ${}v$ differenzierbar ist mit

${}D_{v}(fg)=fD_{v}g+gD_{v}f\,.$

Aufgabe

Bestimme, für welche Richtungen die Richtungsableitung im Nullpunkt zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\max {\left(x,y\right)}},$

existieren.

Kommentar:

Zur Veranschaulichung betrachten wir zunächst den Spezialfall ${}y=0$. Dann können wir die Zuordnung ${}x\mapsto \max(x,0)$ als Funktion in einer Variablen auffassen. Ganz offensichtlich ist sie in ${}x=0$ nicht differenzierbar, da das Steigungsverhalten der Funktion unterschiedlich ist, wenn wir uns dem Nullpunkt von links oder rechts annähern. Daraus können wir direkt folgern, dass die Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}(1,0)$ (also in Richtung des Vektors, der die ${}x$-Achse aufspannt) nicht existiert, da wir die Richtungsableitung als Ableitung der Funktion interpretieren können, die sich durch Einschränkung auf eine Gerade ergibt.

Für die allgemeine Betrachtung der Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v=(v_{1},v_{2})$ im Nullpunkt ${}P=0$ untersuchen wir den Differenzenquotienten

${\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}$

für ${}s\to 0$. Wegen ${}f(P)=f(0)=0$ stimmt dieser mit

${\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}$

überein. Per Definition existiert die Richtungsableitung genau dann, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Wie wir aber bereits in dem Spezialfall oben gesehen haben, hängt die Grenzwertbetrachtung nun ganz wesentlich davon ab, ob ${}s<0$ oder ${}s>0$ ist, also ob wir uns dem Nullpunkt von links oder rechts nähern. Falls ${}s>0$ ist, so gilt

${\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}={\frac {s\max(v_{1},v_{2})}{s}}=\max(v_{1},v_{2}).$

Für den einseitigen Grenzwert mit ${}s>0$ verwendet man auch die Notation ${}\lim _{s\searrow 0}{\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}=\max(v_{1},v_{2})$.

Falls ${}s<0$ gilt entsprechend

$\lim _{s\nearrow 0}{\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}=\lim _{s\nearrow 0}{\frac {s\min(v_{1},v_{2})}{s}}=\min(v_{1},v_{2}).$

Für welche Richtungsvektoren existiert folglich die Richtungsableitung und welchen Wert nimmt die Richtungsableitung dann im Nullpunkt an? Können negative Werte angenommen werden?

 

Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ und welche Richtungen ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Richtungsableitung der euklidischen Norm

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}},$

existiert.

Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ und welche Richtungen ${}v\in \mathbb {R} ^{2}$ die Richtungsableitung der Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \vert {x+y}\vert ,$

existiert.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2},$

im Nullpunkt ${}(0,0)$ auf Richtungsableitungen. Man entscheide für jede Gerade ${}G$ durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung von ${}f$ auf ${}G$ im Nullpunkt ein Extremum besitzt.

Kommentar:

Wir machen uns zunächst ein Bild der Funktion. Falls wir die Funktion auf die Gerade ${}y=0$ einschränken, also auf die ${}x$-Achse, so stimmt die Funktion mit der Parabel ${}x^{2}$ überein. Im Nullpunkt liegt dann offenbar ein Minimum vor. Falls wir ${}f$ auf die ${}y$-Achse mit ${}x=0$ einschränken, stimmt ${}f$ mit ${}-y^{2}$ überein, einer nach unten geöffneten Parabel, sodass ein Maximum vorliegt. Andere interessante Geraden durch den Ursprung sind die Diagonalen wie zum Beispiel die Gerade, die durch ${}x=y$ definiert wird. Dort ist ${}f$ konstant Null. Insbesondere ist die Einschränkung von ${}f$ auf diese Diagonale sowohl minimal als auch maximal im Ursprung.

Die Funktion ${}f$ ist ein Polynom, sodass, wie bereits in der Vorlesung erwähnt wurde, die Richtungsableitung in jedem Punkt und jede Richtung existiert. Hier untersuchen wir dies im Nullpunkt ${}P=0$ für den Richtungsvektor ${}v=(v_{1},v_{2})$. Für den Differenzenquotienten erhalten wir

${\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}={\frac {f(sv)}{s}}={\frac {(sv_{1})^{2}-(sv_{2})^{2}}{s}}=s(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}),$

was im Grenzwert für ${}s\to \infty$ gegen Null konvergiert. Somit verschwindet die Richtungsableitung im Ursprung in jede beliebige Richtung. Die Einschränkung von ${}f$ auf eine beliebige Ursprungsgerade ist eine quadratische Funktion in einer Variablen und besitzt somit ein Extremum im Nullpunkt.

Nach unseren vorherigen Überlegungen teilen die beiden Diagonalen den Raum ${}\mathbb {R} ^{2}$ in die Teile, in denen entweder ein Maximum oder ein Minimum vorliegt. Genauer begründen lässt sich das folgendermaßen. Die Einschränkung von ${}f$ auf die Gerade in Richtung ${}v$ ist

$h_{v}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad s\mapsto f(0+sv)=s^{2}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}),$

eine quadratische Funktion in der einen Variablen ${}s$. Dann liegt ein Minimum vor, wenn ${}h_{v}(s)\geq 0$ für ${}s\neq 0$ gilt, also ${}v_{1}^{2}\geq v_{2}^{2}$. Dies ist äquivalent zu ${}\vert v_{1}\vert \geq \vert v_{2}\vert$. Analog ergibt sich, dass bei ${}\vert v_{1}\vert \leq \vert v_{2}\vert$ ein Maximum vorliegt.

 

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und

$f,g\colon G\longrightarrow W$

seien Abbildungen auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$, die in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung

$h\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,P\longmapsto \left\langle f(P),g(P)\right\rangle ,$

in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist, und dass

${}(D_{v}h)(P)=\left\langle f(P),(D_{v}g)(P)\right\rangle +\left\langle (D_{v}f)(P),g(P)\right\rangle \,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ der Einheitskreis und

$g\colon S^{1}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion mit ${}g(-Q)=-g(Q)$, gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte.

1. Zeige, dass durch ${}f(0)=0$ und

   ${}f(P):=\Vert {P}\Vert g\left({\frac {P}{\Vert {P}\Vert }}\right)\,$

   für ${}P\neq 0$ eine Funktion auf ${}\mathbb {R} ^{2}$ definiert ist.

2. Zeige, dass ${}f$ genau dann stetig ist, wenn ${}g$ stetig ist.
3. Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges ${}g$ derart, dass ${}f$ im Nullpunkt stetig ist.
4. Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist.
5. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist.
6. Es sei

   ${}g(Q)={\begin{cases}1,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ rational ist }}\\0,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ irrational ist}}\,.\end{cases}}\,$

   Zeige, dass ${}f$ in jedem Punkt ${}P\neq 0$ nur in eine Richtung (bis auf Skalierung) eine Richtungsableitung besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ reelle endlichdimensionale Vektorräume, ${}G\subseteq V$

offen und ${}v\in V$ ein Vektor. Es bezeichne ${}C_{v}^{1}(G,W)$ die Menge aller in Richtung ${}v$ differenzierbaren Abbildungen von ${}G$ nach ${}W$. Zeige, dass die Abbildung

$C_{v}^{1}(G,W)\longrightarrow {\rm {Abb}}(G,W),\,\varphi \longmapsto D_{v}\varphi ,$

linear ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}\sin y-e^{x}y-x,$

1. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(1,0)$,
2. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(0,1)$,
3. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(2,0)$,
4. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(1,-3)$,
5. im Punkt ${}(1,1)$ in Richtung ${}(1,1)$,
6. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(-1,{\frac {1}{2}})$,
7. im Punkt ${}(5,7)$ in Richtung ${}(1,0)$,
8. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(5,7)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\setminus {\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{3}=0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x^{2}-xy+y^{4}}{x^{2}+y^{3}}},$

1. im Punkt ${}(1,1)$ in Richtung ${}(1,0)$,
2. im Punkt ${}(0,1)$ in Richtung ${}(0,1)$,
3. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(0,1)$,
4. im Punkt ${}(3,-2)$ in Richtung ${}(2,-5)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitungen der Funktion (${}r_{i}\in \mathbb {N}$)

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto x_{1}^{r_{1}}{\cdots }x_{n}^{r_{n}},$

in einem Punkt

$a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$

in Richtung

$v=(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe 43.19, dass zu einer polynomialen Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n}),$

zu einer fixierten Richtung ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Richtungsableitung ${}D_{v}\varphi$ existiert und selbst polynomial ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$

offen, ${}P\in G$ ein Punkt, ${}v\in V$ ein Vektor und sei

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung, die im Punkt ${}P$ in Richtung ${}v$ differenzierbar sei. Zeige, dass ${}f$ auch in Richtung ${}cv$ mit ${}c\in {\mathbb {K} }$ differenzierbar ist und die Beziehung

${}{\left(D_{cv}f\right)}{\left(P\right)}=c{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}\,$

gilt.