Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 42
- Übungsaufgaben
Löse das lineare Anfangswertproblem
Es sei eine quadratische -Matrix über . Es sei eine Lösung der linearen Differentialgleichung
und eine Lösung der linearen Differentialgleichung
Zeige, dass eine Lösung der linearen Differentialgleichung
ist.
Es sei
ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten zu einer reellen -Matrix und sei ein Eigenvektor von zum Eigenwert . Zeige, dass und Lösungen des Systems sind.
Es sei
ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei der Lösungsraum dieses Systems und sei . Zeige, dass die Abbildung
ein Vektorraum-Isomorphismus ist.
Wie transformieren sich in Lemma 42.5 die Anfangsbedingungen?
Löse das lineare Anfangswertproblem
Löse das lineare Anfangswertproblem
Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem
Kommentar:
Es handelt sich hierbei um ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten . Dank Lemma 42.1 wissen wir, dass Lösungen allein durch Untersuchung der Systemmatrix , also mit Hilfe der linearen Algebra gefunden werden können. Haben wir einen Eigenwert von mit zugehörigem Eigenvektor , so löst das Differentialgleichungssystem, wobei eine unbestimmte Konstante ist. Dies ist nur eine Lösung und da kein Anfangswert vorgegeben ist, gibt es unendlich viele weitere Funktionen, die das Differentialgleichungssystem erfüllen (allein durch verschiedene Wahl von ). Um den gesamten Lösungsraum beschreiben zu können, müssen alle Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren von berechnet werden. Dies ist eine gute Gelegenheit entsprechende Inhalte aus dem vorherigen Kurs zu wiederholen. [[Charakteristisches Polynom/2 5 -3 4/Eigenwerte/Eigenräume/Beispiel|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Charakteristisches Polynom/2 5 -3 4/Eigenwerte/Eigenräume/Beispiel/Beispielreferenznummer (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))]] zeigt noch einmal das Vorgehen zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix.
Es ergeben sich für unsere Matrix zwei komplexe Eigenwerte mit zwei verschiedenen Eigenvektoren (Eigenvektoren sind nur bis auf skalare Vielfache eindeutig). Der gesamte Lösungsraum ist schließlich wegen Korollar 42.12 durch die Linearkombinationen der Einzellösungen zu den jeweiligen Eigenvektoren gegeben.
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
b) Löse das Anfangswertproblem
mit der Anfangsbedingung
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
b) Löse das Anfangswertproblem
mit der Anfangsbedingung .
Beschreibe für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem
die allgemeine Lösung mit
- Exponentialfunktionen,
- Hyperbelfunktionen.
Es sei
ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten mit einer oberen Dreiecksmatrix . Zeige, dass es ein Fundamentalsystem von Lösungsfunktionen mit
gibt.
Die folgenden Aufgaben löse man mit
Satz Anhang 4.1,
man spricht vom Ansatz vom Typ der rechten Seite.
Löse die Differentialgleichung
Kommentar:
Es liegt eine Differentialgleichung höherer Ordnung vor, genauer, der Ordnung 2. Man kann diese durch Einführung von zusätzlichen Variablen in ein Differentialgleichungssystem mit Differentialgleichungen von erster Ordnung transformieren, siehe Lemma 40.14. Oftmals ist es danach trotzdem noch sehr schwierig dieses System zu lösen.
Wir sind aber in der guten Situation, dass unsere Differentialgleichung von besonderer Form ist. Sie ist von Ordnung 2, und die Funktion und ihre Ableitungen kommen nur linear vor. Die rechte Seite ist eine Exponentialfunktion in multipliziert mit einem Polynom . Anders als in Aufgabe 42.30 ist es in diesem Fall ein Polynom vom Grad , nämlich .
Differentialgleichungen von dieser Form können mit Hilft des Ansatzes vom Typ der rechten Seite, Satz Anhang 4.1, gelöst werden. Das charakteristische Polynom zur Differentialgleichung ist und wir sehen durch einsetzen, dass der Parameter , welcher hier 1 ist, keine Nullstelle ist. Der Ansatz vom Typ der rechten Seite liefert uns demnach, dass es eine Lösung der Form
gibt. Es ist bisher nur eine Ansatzlösung. Das Polynom hat dabei denselben Grad wie das Polynom und muss noch genauer bestimmt werden. Das wird im Allgemeinen gemacht, indem für ein entsprechendes Polynom mit noch zu bestimmenden Koeffizienten angesetzt wird. Einsetzen der Ansatzlösung für und deren Ableitungen auf der linken Seite der Differentialgleichung macht es möglich die Koeffizienten von durch Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite zu bestimmen. Siehe dazu auch die Lösung von Aufgabe 42.16.
In dieser Aufgabe ist es recht leicht, denn wie ist der Grad von ?
Löse die Differentialgleichung
Löse die Differentialgleichung
Löse die Differentialgleichung
Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in Variablen und sei ein Punkt vorgegeben.
- Erstelle eine rekursive Formel für die Punkte im Polygonzugverfahren zum Startpunkt und zur Schrittweite in dieser Situation.
- Erstelle eine geschlossene Formel für zur Schrittweite .
- Erstelle eine Formel für zur Schrittweite .
In eine Potenzreihe kann man nicht zur Zahlen einsetzen, sondern auch quadratische Matrizen, wobei die Potenzen als Matrixpotenzen zu interpretieren sind, und sich fragen, ob die entstehenden Folgen im Raum der Matrizen konvergieren.
Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Zeige, dass die Lösung des Anfangswertproblems mit der Anfangbedingung durch
gegeben ist.
Verwende, dass die Ableitung der Abbildung
gleich ist.
Begründe Lemma 42.1 mit Aufgabe 42.20.
Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in Variablen und sei . Zeige, dass die Abbildung
die einem Punkt den Ortspunkt zum Zeitpunkt der Lösung des Anfangswertproblems zuordnet, eine lineare Abbildung ist und durch die Matrix beschrieben wird.
Es sei die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von nach und die Ableitung, aufgefasst als Operator[1]
Zu einem Polynom , , betrachten wir den Operator
Berechne für und . Zeige, dass eine lineare Abbildung auf ist.
Es sei und . Zeige, dass der Differentialoperator die Funktionen mit auf die Nullfunktion abbildet.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (6 Punkte)
Löse das lineare Anfangswertproblem
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei . Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems
Aufgabe (4 Punkte)
Löse die Differentialgleichung
- Fußnoten
- ↑ Eine Abbildung, die Funktionen in Funktionen überführt, nennt man häufig Operator.
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