Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 42



Übungsaufgaben

Löse das lineare Anfangswertproblem



Es sei eine quadratische -Matrix über . Es sei eine Lösung der linearen Differentialgleichung

und eine Lösung der linearen Differentialgleichung

Zeige, dass eine Lösung der linearen Differentialgleichung

ist.



Es sei

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten zu einer reellen -Matrix und sei ein Eigenvektor von zum Eigenwert . Zeige, dass und Lösungen des Systems sind.



Es sei

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei der Lösungsraum dieses Systems und sei . Zeige, dass die Abbildung

ein Vektorraum-Isomorphismus ist.



Wie transformieren sich in Lemma 42.5 die Anfangsbedingungen?



Löse das lineare Anfangswertproblem



Löse das lineare Anfangswertproblem



Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem



a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung



a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung .



Beschreibe für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

die allgemeine Lösung mit

  1. Exponentialfunktionen,
  2. Hyperbelfunktionen.



Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

Lösungen mit und , wobei sind.



Es sei

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten mit einer oberen Dreiecksmatrix . Zeige, dass es ein Fundamentalsystem von Lösungsfunktionen mit

gibt.


Die folgenden Aufgaben löse man mit Satz Anhang 4.1, man spricht vom Ansatz vom Typ der rechten Seite.


Löse die Differentialgleichung



Löse die Differentialgleichung



Löse die Differentialgleichung



Löse die Differentialgleichung



Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in Variablen und sei ein Punkt vorgegeben.

  1. Erstelle eine rekursive Formel für die Punkte im Polygonzugverfahren zum Startpunkt und zur Schrittweite in dieser Situation.
  2. Erstelle eine geschlossene Formel für zur Schrittweite .
  3. Erstelle eine Formel für zur Schrittweite .


In eine Potenzreihe kann man nicht zur Zahlen einsetzen, sondern auch quadratische Matrizen, wobei die Potenzen als Matrixpotenzen zu interpretieren sind, und sich fragen, ob die entstehenden Folgen im Raum der Matrizen konvergieren.


Es sei eine reelle (oder komplexe) - Matrix. Zeige, dass

im Raum der Matrizen konvergiert.



Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Zeige, dass die Lösung des Anfangswertproblems mit der Anfangbedingung durch

gegeben ist.

Verwende, dass die Ableitung der Abbildung

gleich ist.




Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in Variablen und sei . Zeige, dass die Abbildung

die einem Punkt den Ortspunkt zum Zeitpunkt der Lösung des Anfangswertproblems zuordnet, eine lineare Abbildung ist und durch die Matrix beschrieben wird.



Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

gleich

ist.



Es sei die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von nach und die Ableitung, aufgefasst als Operator[1]

Zu einem Polynom , , betrachten wir den Operator

Berechne für und . Zeige, dass eine lineare Abbildung auf ist.



Es sei und . Zeige, dass der Differentialoperator die Funktionen mit auf die Nullfunktion abbildet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem



Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem



Aufgabe (6 Punkte)

Es sei . Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem



Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems



Aufgabe (4 Punkte)

Löse die Differentialgleichung






Fußnoten
  1. Eine Abbildung, die Funktionen in Funktionen überführt, nennt man häufig Operator.


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