Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 41



Übungsaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten die Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung . Bestimme zur Schrittweite die approximierenden Punkte gemäß dem Polygonzugverfahren. Bestimme insbesondere . Was passiert mit für ?


Aufgabe

Wir betrachten das Vektorfeld

Es sei und eine Schrittweite. Zeige, dass das Polygonzugverfahren zu einem Streckenzug führt, bei dem der Abstand der Punkte zum Nullpunkt gegen unendlich läuft (obwohl nach Beispiel 40.8 die Lösungskurven Kreise beschreiben). Wie verhalten sich die Winkel am Nullpunkt, die durch und gegeben sind.


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz.


Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe

  1. Löse das Anfangswertproblem

    mit und durch einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .

  2. Löse das Anfangswertproblem

    mit und durch einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .

  3. Vergleiche die Lösungen zu (1) und (2).


Für die beiden folgenden Aufgaben verwende man die Potenzreihe

Für den inhaltlichen Hintergrund siehe Beispiel Anhang 3.5 bzw. Beispiel 3.6.

Aufgabe *

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

mit und bis zur Ordnung . Dabei ist eine Konstante.


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

mit und durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

für .


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen (für ) des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und seien

differenzierbare Funktionen mit

für alle . Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

Zeige, dass sowohl als auch Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.


Aufgabe

Es sei

eine (variable) -Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

seien. Es sei für alle . Zeige, dass die einzige konstante Lösung der linearen Differentialgleichung die Nulllösung ist.


Aufgabe *

Es sei

ein lineares Differentialgleichungssystem auf ( ein reelles Intervall) mit einer Funktionenmatrix

wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein Zentralfeld sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt

mit einer geeigneten Funktion

besitzt.


Aufgabe

Es sei eine (variable) -Matrix, deren Einträge Funktionen

seien. Es sei ein Eigenvektor zum Eigenwert für alle . Zeige, dass eine Lösung der linearen Differentialgleichung ist.


Aufgabe

Es sei eine (variable) -Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

seien. Es sei ein (konstanter) Eigenvektor von zum (variablen, von differenzierbar abhängigen) Eigenwert . Zeige durch ein Beispiel, dass keine Lösung der linearen Differentialgleichung sein muss.


Aufgabe

Es sei

eine (variable) -Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

seien. Es sei ein (variabler, von differenzierbar abhängiger) Eigenvektor von zum konstanten Eigenwert . Zeige durch ein Beispiel, dass keine Lösung der linearen Differentialgleichung sein muss.


Aufgabe

Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem auf dem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass die transformierte Differentialgleichung auf ebenfalls linear ist.


Aufgabe

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung

bis zur fünften Ordnung.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

a) Man schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus Beispiel 41.3 zu einem Startzeitpunkt , einem Startpunkt und einer vorgegebenen Schrittweite die approximierenden Punkte berechnet.

b) Berechne mit diesem Programm die Punkte für

  1. , , , .
  2. , , , .
  3. , , , .
  4. , , , .
  5. , , , .
  6. , , , .
  7. , , , .
  8. , , , .

(Abzugeben ist lediglich Teil b), und zwar in einer leserfreundlichen Form.)

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

a) Übersetze das Anfangswertproblem zweiter Ordnung

in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung.

b) Bestimme mit dem Polygonzugverfahren zur Schrittweite die Näherungspunkte für dieses System.

c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle .


Aufgabe (6 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

  1. Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion zu einer Lösung erfüllen muss.
  2. Finde eine Lösung für aus Teil (1).
  3. Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.

Bemerkung: Im ersten und zweiten Teil wird untersucht, wie sich bei einer Lösung des Systems der Abstand zum Nullpunkt (bzw. dessen Quadrat) verhält. Es liegt nahe, sich für den dritten Teil zu überlegen, wie sich bei einer Lösung der Winkel zur -Achse verhält (Polarkoordinaten).

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine nichttriviale Lösung (für ) zum linearen Differentialgleichungssystem

mit Hilfe von Aufgabe 41.19.


Die für , , und ein definierte lineare Differentialgleichung

heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter .


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass das -te Legendre-Polynom[1]

eine Lösung der Legendreschen Differentialgleichung zum Parameter ist.




Fußnoten
  1. Hier bedeutet das hochgestellte die -te Ableitung.


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