Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 41

Übungsaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten die Differentialgleichung

$y'=y$

mit der Anfangsbedingung ${}y(0)=1$. Bestimme zur Schrittweite ${}s={\frac {1}{k}}$ die approximierenden Punkte ${}P_{n}$ gemäß dem Polygonzugverfahren. Bestimme insbesondere ${}P_{k}$. Was passiert mit ${}P_{k}$ für ${}k\rightarrow \infty$?

Kommentar:

Beim Polygonstreckenzugverfahren, welches auch explizites Eulerverfahren genannt wird, approximieren wir die Lösung einer Differentialgleichung durch einen Streckenzug, der durch eine Punktfolge ${}(P_{0},P_{1},\dots )$ gegeben ist. Die Punkte sind rekursiv durch

$P_{n+1}=P_{n}+sF(t_{0}+ns,P_{n})$

definiert, wobei wir das Vektorfeld ${}F$ mittels ${}y'=y=F(t,y)$ definieren. Hier liegt die Besonderheit vor, dass das Vektorfeld ${}F$ nur von ${}y$ abhängt, nicht aber von ${}t$. Die Beschreibung der Punktfolge im Polygonstreckenzugverfahren vereinfacht sich daher zu

$P_{n+1}=P_{n}+sF(t_{0}+ns,P_{n})=P_{n}+sP_{n}=(1+s)P_{n}.$

Diese rekursive Darstellung können wir direkt in die explizite Darstellung

$P_{n}=(1+s)^{n}P_{0}$

umwandeln. Der Punkt ${}P_{n}$ wird hierbei als Approximation der Lösung ${}y$ zum Zeitpunkt ${}t_{0}+ns$ interpretiert.

Mit der Startbedingung ${}y(t_{0})=1$, ${}t_{0}=0$, und fixierter Schrittweite ${}s={\tfrac {1}{k}}$ erhalten wir ${}P_{0}=1$ und ${}P_{n}=(1+{\tfrac {1}{k}})^{n}$.

Insbesondere gilt nach Korollar 20.14 für den Punkt ${}P_{k}$ (also zum Zeitpunkt ${}t_{0}+ks=1$) im Grenzwert

$P_{k}=(1+{\tfrac {1}{k}})^{k}\xrightarrow {k\to \infty } \mathrm {e} =\exp(1).$

Falls wir also die Schrittweite gegen Null laufen lassen, so konvergiert (wenn auch nicht sehr schnell) die durch den Streckenzug gegebene Approximation tatsächlich gegen die erwartete Lösung ${}y(t)=\exp(t)$, falls ${}t=1$.

Andererseits stellen wir fest, dass bei fixiertem ${}k$ und wachsendem ${}n$ der Punkt ${}P_{n}$ von der erwarteten Lösung ${}y(t_{0}+ns)=\exp({\tfrac {n}{k}})$ zunehmend abweicht. Das Polygonstreckenzugverfahren liefert daher nur für eine gewisse Zeit eine gute Approximation der Exponentialfunktion.

Die Diskrepanz lässt sich beispielsweise anhand von Zinsrechnung verstehen. Verzinst man ein Kapital mit jährlicher Verzinsung (große Schrittweite), so wächst das Kapital weniger stark als bei einer monatlichen Verzinsung zu gleichem Zinssatz (kleine Schrittweite). Auch bei monatlicher Verzinsung fällt das Wachstum noch geringer als bei stetiger Verzinsung aus.

 

Aufgabe

Wir betrachten das Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto (-y,x).$

Es sei ${}P_{0}\neq (0,0)$ und ${}s>0$ eine Schrittweite. Zeige, dass das Polygonzugverfahren zu einem Streckenzug ${}P_{0},P_{1},P_{2},\ldots$ führt, bei dem der Abstand der Punkte zum Nullpunkt gegen unendlich läuft (obwohl nach Beispiel 40.8 die Lösungskurven Kreise beschreiben). Wie verhalten sich die Winkel am Nullpunkt, die durch ${}P_{n}$ und ${}P_{n+1}$ gegeben sind.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=y{\text{ mit }}y(0)=1$

durch einen Potenzreihenansatz.

Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

$y'=ty+1{\text{ mit }}y(0)=0$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung ${}5$.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=y^{3}-y-4t+2t^{2}{\text{ mit }}y(0)=2$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=y^{2}+t^{2}y-5ty^{2}+3t^{3}{\text{ mit }}y(0)=0$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe

1. Löse das Anfangswertproblem

   ${}y^{\prime \prime }=-\sin y\,$

   mit ${}y(0)=0$ und ${}y'(0)=1$ durch einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung ${}5$.

2. Löse das Anfangswertproblem

   ${}y^{\prime \prime }=-y\,$

   mit ${}y(0)=0$ und ${}y'(0)=1$ durch einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung ${}5$.

3. Vergleiche die Lösungen zu (1) und (2).

Für die beiden folgenden Aufgaben verwende man die Potenzreihe

${}{\frac {1}{1+u}}=1-u+u^{2}-u^{3}+u^{4}\pm \ldots \,.$

Für den inhaltlichen Hintergrund siehe Beispiel Anhang 3.5 bzw. Beispiel 3.6.

Aufgabe *

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

${}x^{\prime \prime }={\frac {-2gx-4x(x')^{2}}{1+4x^{2}}}\,$

mit ${}x(0)=0$ und ${}x'(0)=1$ bis zur Ordnung ${}4$. Dabei ist ${}g$ eine Konstante.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

${}{\begin{aligned}x^{\prime \prime }&=-gx{\sqrt {1-x^{2}}}-{\frac {x}{1-x^{2}}}x'^{2}\\\end{aligned}}$

mit ${}x(0)=0$ und ${}x'(0)=1$ durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung ${}4$.

Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=3yy'+y^{2}{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=2$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime \prime }={\begin{pmatrix}xt^{2}-y^{2}t\\xy\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}x'(0)\\y'(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime \prime }={\begin{pmatrix}t^{3}-yt^{2}\\tx^{2}y-\sinh t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}x'(0)\\y'(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\sin t&0\\0&{\frac {1}{t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-\sin t\\t^{5}\end{pmatrix}}\,$

für ${}t>0$.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t&1-t\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Kommentar:

Wir haben es hier mit einem homogenen linearen Differentialgleichungssystem zu tun. Wichtig ist hierbei zu erkennen, dass das lineare System bereits Dreiecksgestalt besitzt, sodass wir nach Lemma 41.6 schrittweise die Lösungen konstruieren können.

Tatsächlich besteht die zweite Zeile des Systems nur aus der Gleichung ${}y'=y$, für die wir bereits den Lösungsraum ${}y=c_{2}e^{t}$, ${}c_{2}\in \mathbb {R}$, kennen.

Die Lösung für ${}y$ können wir nun in die erste Zeile einsetzen und erhalten die inhomogene lineare Differentialgleichung

$x'=tx+(1-t)y=tx+(1-t)c_{2}e^{t}.$

Wie sieht die zugehörige homogene Gleichung aus und welches ist der inhomogene Anteil? Obwohl das ursprüngliche Differentialgleichungssystem homogen war, stoßen wir hier nun auf eine inhomogene Differentialgleichung, die wir lösen müssen. Dazu haben wir bereits ein allgemeines Lösungsverfahren in Satz 29.10 kennen gelernt.

Insgesamt ergeben sich daher welche Lösungen für das Differentialgleichungssystem?

 

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&t\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&t\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen (für ${}t>0$) des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&t^{3}-t\\0&{\frac {1}{t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&t^{2}-t+5\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

differenzierbare Funktionen mit

${}f_{11}(t)f_{22}(t)-f_{21}(t)f_{12}(t)\neq 0\,$

für alle ${}t\in I$. Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {f'_{11}f_{22}-f'_{12}f_{21}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}&{\frac {-f'_{11}f_{12}+f'_{12}f_{11}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}\\{\frac {f'_{21}f_{22}-f'_{22}f_{21}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}&{\frac {-f_{12}f'_{21}+f'_{22}f_{11}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass sowohl ${}{\begin{pmatrix}f_{11}\\f_{21}\end{pmatrix}}$ als auch ${}{\begin{pmatrix}f_{12}\\f_{22}\end{pmatrix}}$ Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.

Aufgabe

Es sei

${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}\,$

eine (variable) ${}n\times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

seien. Es sei ${}\det {\left(M(t)\right)}\neq 0$ für alle ${}t\in I$. Zeige, dass die einzige konstante Lösung der linearen Differentialgleichung ${}v'=Mv$ die Nulllösung ist.

Aufgabe *

Es sei

${}v'=Mv\,$

ein lineares Differentialgleichungssystem auf ${}I\times \mathbb {R} ^{n}$ (${}I$ ein reelles Intervall) mit einer Funktionenmatrix

${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}\,,$

wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein Zentralfeld sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt

${}M(t)=\varphi (t){\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$

mit einer geeigneten Funktion

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}$ eine (variable) ${}n\times n$-Matrix, deren Einträge Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

seien. Es sei ${}u\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\lambda$ für alle ${}t\in I$. Zeige, dass ${}e^{\lambda t}\cdot u$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung ${}v'=Mv$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}$ eine (variable) ${}n\times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

seien. Es sei ${}u\in \mathbb {R} ^{n}$ ein (konstanter) Eigenvektor von ${}M(t)$ zum (variablen, von ${}t$ differenzierbar abhängigen) Eigenwert ${}\lambda (t)$. Zeige durch ein Beispiel, dass ${}e^{\lambda (t)t}\cdot u$ keine Lösung der linearen Differentialgleichung ${}v'=Mv$ sein muss.

Kommentar:

Hier handelt es sich um ein lineares Differentialgleichungssystem, dessen Koeffizienten ${}a_{ij}$ nicht konstant, sondern Funktionen ${}a_{ij}(t)$ sind, die vom Parameter ${}t$ abhängen. Genauer gesagt ist es ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

Um ein Gegenbeispiel zu finden, bietet es sich an, zunächst zu untersuchen, an welcher Stelle die Forderung, dass ${}e^{\lambda (t)t}u$ eine Lösung ist, fehlschlagen könnte. Dazu verwenden wir die Voraussetzung, dass der konstante Vektor ${}u$ ein Eigenvektor der variablen Matrix ${}M(t)$ zum variablen Eigenwert ${}\lambda (t)$ sein soll. Das bedeutet, dass

$M(t)\cdot u=\lambda (t)\cdot u$

für alle ${}t\in I$ gilt. Anders ausgedrückt erhalten wir zu jedem beliebigen Zeitpunkt ${}t$ einen konkreten Eigenwert ${}\lambda (t)\in \mathbb {R}$ zu der Matrix ${}M(t)$, die zu diesem Zeitpunkt vorliegt. Es handelt sich um eine Familie von Eigenwertgleichungen.

Wir wollen nun die zu untersuchende Funktion ${}v(t):=e^{\lambda (t)\cdot t}\cdot u$ in die Differentialgleichung einsetzen. Für die Ableitung ergibt sich mittels Ketten- und Produktregel

$v'(t)=(\lambda (t)t)'e^{\lambda (t)t}u=(\lambda (t)+\lambda '(t)t)e^{\lambda (t)t}u=(\lambda (t)+\lambda '(t)t)v(t).$

Hierbei ist ${}v(t)$ eine Funktion in mehreren Komponenten, für die wir die Ableitung komponentenweise bestimmen können. Die Einträge des Vektors ${}u$ sind konstant, hängen also nicht von ${}t$ ab.

Andererseits folgt aus der Eigenwertgleichung

$M(t)v(t)=M(t)\cdot u\cdot e^{\lambda (t)t}=\lambda (t)ue^{\lambda (t)t}=\lambda (t)v(t).$

Dabei konnten wir die Ausdrücke ${}u$ und ${}e^{\lambda (t)t}$ vertauschen, weil letzterer für jedes ${}t$ nur ein Skalar ist.

Durch Vergleich der beiden Ergebnisse zeigt sich, dass ${}v(t)$ nur eine Lösung der Differentialgleichung sein kann, wenn ${}\lambda '(t)t=0$ gilt. Welche Funktionen sind das genau?

Für das Gegenbeispiel muss man nun eine ${}n\times n$-Matrix ${}M(t)$, einen Vektor ${}u$ und eine nichtkonstante Funktion ${}\lambda (t)$ finden, sodass ${}\lambda (t)$ ein Eigenwert ist. Man kann ein möglichst einfaches Beispiel konstruieren, indem man etwa eine Diagonalmatrix wählt, weil dann das Differentialgleichungssystem in einzelne Differentialgleichungen zerfällt, die wir sogar alle gleich wählen können.

 

Aufgabe

Es sei

${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}\,$

eine (variable) ${}n\times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

seien. Es sei ${}u(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ein (variabler, von ${}t$ differenzierbar abhängiger) Eigenvektor von ${}M(t)$ zum konstanten Eigenwert ${}\lambda$. Zeige durch ein Beispiel, dass ${}e^{\lambda t}\cdot u(t)$ keine Lösung der linearen Differentialgleichung ${}v'=Mv$ sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}v'=Mv$ ein lineares Differentialgleichungssystem auf dem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass die transformierte Differentialgleichung auf ${}W$ ebenfalls linear ist.

Aufgabe

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t^{2}-1&t^{3}+t+2\\t+3&t^{2}+t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}(0)={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,$

bis zur fünften Ordnung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

a) Man schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus Beispiel 41.3 zu einem Startzeitpunkt ${}t_{0}$, einem Startpunkt ${}P_{0}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ und einer vorgegebenen Schrittweite ${}s>0$ die approximierenden Punkte ${}P_{n}$ berechnet.

b) Berechne mit diesem Programm die Punkte ${}P_{n}$ für

1. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{10}}$, ${}n=0,1,2,3,4,5,10$.
2. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{100}}$, ${}n=100$.
3. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{1000}}$, ${}n=1000$.
4. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}0,999\\1,001\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{1000}}$, ${}n=1000$.
5. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}0,99\\1,01\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{1000}}$, ${}n=1000$.
6. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}0,9\\1,1\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{1000}}$, ${}n=1000$.
7. ${}t_{0}=-4$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{10}}$, ${}n=100$.
8. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{1000}}$, ${}n=1000$.

(Abzugeben ist lediglich Teil b), und zwar in einer leserfreundlichen Form.)

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

a) Übersetze das Anfangswertproblem zweiter Ordnung

$y^{\prime \prime }=-y{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1$

in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung.

b) Bestimme mit dem Polygonzugverfahren zur Schrittweite ${}s={\frac {1}{2}}$ die Näherungspunkte ${}P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ für dieses System.

c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle ${}t=\pi /2$.

Aufgabe (6 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime \prime }={\begin{pmatrix}x^{2}t-xyt+y^{3}-yt^{3}\\x^{3}-xy^{2}+\cos t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}x'(0)\\y'(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-2&-t^{2}-3t+4\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

1. Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion ${}z(t)=x^{2}(t)+y^{2}(t)$ zu einer Lösung ${}(x,y)$ erfüllen muss.
2. Finde eine Lösung für ${}z(t)$ aus Teil (1).
3. Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.

Bemerkung: Im ersten und zweiten Teil wird untersucht, wie sich bei einer Lösung des Systems der Abstand zum Nullpunkt (bzw. dessen Quadrat) verhält. Es liegt nahe, sich für den dritten Teil zu überlegen, wie sich bei einer Lösung der Winkel zur ${}x$-Achse verhält (Polarkoordinaten).

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine nichttriviale Lösung (für $t>1$) zum linearen Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {4t^{4}-1}{t^{5}-t}}&{\frac {-3t}{t^{4}-1}}\\{\frac {-t}{t^{4}-1}}&{\frac {3t^{4}-2}{t^{5}-t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit Hilfe von Aufgabe 41.19.

Die für ${}t\in \mathbb {R}$, ${}-1<t<1$, und ein ${}n\in \mathbb {N}$ definierte lineare Differentialgleichung

$y^{\prime \prime }-{\frac {2t}{1-t^{2}}}y'+{\frac {n(n+1)}{1-t^{2}}}y=0$

heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter ${}n$.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass das ${}n$-te Legendre-Polynom

${\frac {1}{2^{n}(n!)}}((t^{2}-1)^{n})^{(n)}$

eine Lösung der Legendreschen Differentialgleichung zum Parameter ${}n$ ist.

Fußnoten