Kurs:Analysis 3/12/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 5 0 0 0 0 0 3 0 3 2 0 0 19




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine messbare Abbildung

    zwischen zwei Messräumen und .

  2. Der Produktraum von topologischen Räumen und .
  3. Der Subgraph einer nichtnegativen numerischen Funktion
  4. -diffeomorphe Mannigfaltigkeiten und .
  5. Das Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  6. Das Volumenmaß zu einer positiven Volumenform auf einer -dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit.


Lösung

  1. Die Abbildung heißt messbar, wenn für jede messbare Menge das Urbild messbar ist.
  2. Topologischer Raum/Endlich/Produktraum/Definition/Begriff/Inhalt
  3. Nichtnegative numerische Funktion auf Menge/Subgraph/Definition/Begriff/Inhalt
  4. Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition/Begriff/Inhalt
  5. Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Mit Topologie/Definition/Begriff/Inhalt
  6. Für eine Borelmenge wird das Maß von zu über eine abzählbare Zerlegung (wobei ein offenes Kartengebiet und ist)

    definiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.


Lösung

Aufgrund der Translationsinvarianz des Flächeninhalts können wir der Punkt in den Nullpunkt verschieben, die Koordinaten der beiden anderen Punkte sind bzw. . Dieses Dreieck ist das Bild des durch den Nullpunkt und die beiden Standardvektoren und gegebenen Dreiecks unter der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung. Das Standardreieck hat den Flächeninhalt . Daher ist der Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks nach Fakt ***** gleich


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung der Differentialform

auf dem .


Lösung

Es ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetig differenzierbare Abbildung

einer euklidischen Halbebene in sich mit der Eigenschaft, dass genau ein Randpunkt von in einen Randpunkt und alle anderen Punkte in das Innere der Halbebene abgebildet werden.


Lösung

Wir betrachten die positive Halbebene

und die Abbildung

Als polynomiale Abbildung ist stetig differenzierbar. Der Randpunkt wird auf den Randpunkt abgebildet. Bei allen anderen Punkten von ist oder und daher stets

die erste Komponente ist also positiv.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für den an.


Lösung

Wir betrachen die abgeschlossenen Bälle , , die kompakt sind und die den überdecken. Das offene Innere von ist der offene Ball und wegen

liegt eine kompakte Ausschöpfung vor.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung