Kurs:Analysis 3/15/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	${}\sum$
Punkte	3	3	4	7	5	4	4	3	4	3	3	3	5	5	4	5	4	7	9	9	2	3	0	0	99

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Unterraumtopologie auf einer Teilmenge ${}Y\subseteq X$ eines topologischen Raumes ${}(X,{\mathcal {T}})$.
2. Ein äußeres Maß auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ auf einer Menge ${}M$.
3. Eine einfache Funktion auf einem Messraum.
4. Zwei in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ tangential äquivalente differenzierbare Kurven

   $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

   (dabei sei ${}0\in I$ ein offenes reelles Intervall und ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$).

5. Ein orientierter ${}\mathbb {R}$- Vektorraum.
6. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}T$ die obere Einheitskreishälfte und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x^{2}y+xy^{3}.$

Berechne ${}\int _{T}fd\lambda ^{2}$.

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge ${}1$ (das Einheitsquadrat) wird als ${}1$ festgelegt.

1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${}a,b\in \mathbb {N}$ sind, den Flächeninhalt ${}ab$ besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${}x,y\in \mathbb {Q} _{+}$ sind, den Flächeninhalt ${}xy$ besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten den Kreissektor ${}T$ aus dem Einheitskreis zum Winkel ${}45$ Grad, der an der ${}x$-Achse anliegt. Bestimme mit der Hilfe von Polarkoordinaten den Schwerpunkt von ${}T$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Schwerpunkt derjenigen Fläche, die auf ${}[-1,1]$ durch die Standardparabel und die durch ${}y=1$ gegebene Gerade begrenzt wird.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Integral

$\int _{E}x^{3}+3xy^{2}+xyd\lambda ^{2},$

wobei ${}E$ den Einheitskreis bezeichnet.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Integral zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy+2y^{3},$

über dem Rechteck ${}Q=[-2,1]\times [0,2]$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Schwerpunkt des positiven Viertels des Einheitskreises, also von

${}T={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\,x,y\geq 0\right\}}\,.$

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten gleichschenklige Dreiecke, deren Schenkel die Länge ${}1$ haben, und die durch den inneren Winkel ${}\alpha \in ]0,\pi [$ an der Spitze gegeben sind.

1. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen gleichschenkligen Dreieckes in Abhängigkeit von ${}\alpha$.
2. Für welche Winkel ${}\alpha$ ist der Flächeninhalt maximal oder minimal?

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x+y^{2},\,y+x^{3}+3x^{2}y^{2}+3xy^{4}+y^{6}\right).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}\left(x,\,y\right)$.
2. Bestimme die Jacobi-Determinante von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}\left(x,\,y\right)$.
3. Bestimme den Flächeninhalt des Bildes der Einheitskreisscheibe unter ${}\varphi$. Verwende, dass ${}\varphi$ bijektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass der Schwerpunkt des Intervalls ${}[a,b]$ zur Massenverteilung ${}f$ mit der ${}x$-Koordinate des geometrischen Schwerpunktes des Subgraphen zu ${}f$ übereinstimmt.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge ${}1$ haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt ${}30$ Grad beträgt.

1. Berechne die Grundseite des Dreiecks.
2. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine bijektive lineare Abbildung und sei ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge mit ${}\lambda ^{n}(S)\neq 0$ und sei ${}T=\varphi (S)$ das Bild von ${}S$ unter ${}\varphi$. Zeige, dass der Schwerpunkt von ${}S$ unter ${}\varphi$ in den Schwerpunkt von ${}T$ abgebildet wird.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten den Kreissektor ${}T$ aus dem Einheitskreis zum Winkel ${}30$ Grad, der an der ${}x$-Achse anliegt. Bestimme mit der Hilfe von Polarkoordinaten den Schwerpunkt von ${}T$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

${}Q=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2}\times b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]\,$

ein Quader im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und sei

${}f=x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\,$

ein Monom. Berechne ${}\int _{Q}fd\lambda ^{n}$.

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Dr. Eisenbeis und Prof. Knopfloch haben einen runden Kuchen mit einem Durchmesser von ${}40$ cm gebacken und ihn in ${}12$ gleich große Kuchenstücke aufgeteilt. Am übernächsten Tag ist leider nur noch ein Stück übrig, das sie gerecht aufteilen möchten. Da Dr. Eisenbeis den Rand nicht mag, halbieren sie nicht den Winkel, sondern sie teilen so, dass die eine Hälfte ein gleichschenkliges Dreieck wird.

1. Wie lang ist die Schnittkante?
2. Liegt der Schwerpunkt des Kuchenstücks auf der Schnittkante? Falls nein, wer isst den Schwerpunkt?

Tipp: Bei einen gleichschenkligen Dreieck mit dem Winkel ${}30$ Grad ist das Verhältnis von Grundfläche zu Schenkellänge gleich ${}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$. Vergleiche mit dem Schwerpunkt des gleichschenkligen Dreiecks, das entsteht, wenn man das Kuchenstück zu einem gleichschenkligen Dreieck auffüllen würde, also den runden Rand durch eine im Randmittelpunkt tangentiale gerade Strecke ersetzt. Bei einem Dreieck mit den Ecken ${}A,B,C$ liegt der Schwerpunkt in ${}{\frac {A+B+C}{3}}$.

Aufgabe * (9 (1+4+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{2}}+y,\,x(y+1)\right).$

1. Zeige, dass ${}\varphi$ nicht injektiv ist.
2. Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{<-1}$ injektiv ist.
3. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}$.
4. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$. Welches geometrische Gebilde bilden diese?
5. Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechteckes

   ${}Q=[-1,1]\times [-3,-2]\,.$

Aufgabe * (9 (3+1+1+4) Punkte)

Es sei

${}G={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\mid x^{2}>y^{3}\right\}}\,,$

wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (xy,x^{2}-y^{3}).$

1. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.
2. Zeige, dass ${}\varphi$ einen Diffeomorphismus auf sein Bild induziert.
3. Zeige, dass das Rechteck ${}Q=[3,4]\times [1,2]$ in ${}G$ liegt.
4. Berechne den Flächeninhalt des Bildes von ${}Q=[3,4]\times [1,2]$ unter ${}\varphi$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der Schwerpunkt eines Intervalls ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ mit dem arithmetischen Mittel der Intervallgrenzen übereinstimmt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}S,T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ kompakte Teilmengen mit positivem Volumen derart, dass ihr Durchschnitt ${}S\cap T$ das Volumen ${}0$ besitze. Es sei ${}P$ der Schwerpunkt von ${}S$ und ${}Q$ der Schwerpunkt von ${}T$. Zeige, dass der Schwerpunkt der Vereinigung ${}S\cup T$ durch

${\frac {\lambda ^{n}(S)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}P+{\frac {\lambda ^{n}(T)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}Q$

gegeben ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)