Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Čech-Kohomologie auf dem Polynomring}
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} {R[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Polynomring über $R$ in $n$ Variablen. Man denke insbesondere an den Fall, wo $R$ ein Körper ist. Wir betrachten die offene Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { { {\mathbb A}_{ R }^{ n } } \setminus V{ \left( X_1 , \ldots , X_n \right) }
}
{ =} { D { \left( X_1 , \ldots , X_n \right) }
}
{ =} { \bigcup_{i = 1}^n D(X_i)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir mit der angegebenen affinen Überdeckung mit den
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D(X_i)
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( A_{X_i} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
arbeiten werden. Der
\definitionsverweis {Čech-Komplex}{}{}
zu einem
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$ auf $U$ zu dieser Überdeckung hat somit die Gestalt
\mathdisp {\prod_{1 \leq i \leq n } M_{X_i} \longrightarrow \prod_{1 \leq i < j \leq n } M_{X_iX_j} \longrightarrow \prod_{1 \leq i <j<k \leq n } M_{X_iX_jX_k} \longrightarrow \cdots \longrightarrow M_{X_1 \cdots X_n} \longrightarrow 0} { . }
Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{C}^{ p } ({ D(X_i) },\widetilde { M } )
}
{ =} { \prod_{1 \leq i_0 < i_1 < \cdots i_p \leq n} M_{X_{i_0} \cdots X_{i_p} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die $p$-te
\definitionsverweis {Čech-Kohomologie}{}{}
ist die Homologie des oben ausgeschriebenen Komplexes. Komponentenweise sind die Abbildungen dabei einfach die kanonischen Abbildungen in die Nenneraufnahmen
\zusatzklammer {es wird jeweils eine zusätzliche Variable als Nenner aufgenommen} {} {,}
allerdings werden diese noch mit einem Vorzeichen versehen, wie das in der Definition des Čech-Komplex festgelegt wurde. Wir beschreiben diese Komplexe für die Strukturgarbe
\zusatzklammer {also} {} {}
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ M
}
{ = }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genauer, wobei es hilfreich ist, die Komplexe durch die feine Monomgraduierung, wo mit der Gruppe $\Z^n$ graduiert wird, in einfachere Komplexe aufzuspalten. Wir betrachten zuerst die kleinen Dimensionen.
\inputbeispiel{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{R[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Čechkomplex}{}{}
zur
\definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_{ {\mathbb A}^{2}_{R} }}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{D(X) \cup D(Y)
}
{ \subset }{ {\mathbb A}^{2}_{R}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {0 \longrightarrow A_{X} \times A_Y \longrightarrow A_{XY} \longrightarrow 0} { . }
Dieser Komplex ist mit der feinen Monomgraduierung verträglich. Die Komponente zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\alpha, \beta)
}
{ \in }{ \Z^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hängt im Wesentlichen davon ab, ob die Exponenten positiv oder negativ sind. Wenn $\alpha$ und $\beta$ beide nichtnegativ sind, so steht hier insgesamt
\mathdisp {( A_{X} \times A_Y )_{(\alpha, \beta)} = R \cdot X^\alpha Y^\beta \oplus R \cdot X^\alpha Y^\beta \longrightarrow R \cdot X^\alpha Y^\beta \longrightarrow 0} { }
und der Komplex ist hinten exakt und der Kern vorne ist isomorph zu
\mathl{R \cdot X^\alpha Y^\beta}{.} Wenn $\alpha$ negativ und $\beta$ nichtnegativ ist
\zusatzklammer {entsprechend umgekehrt} {} {,}
so steht hier insgesamt
\mathdisp {( A_{X} \times A_Y )_{(\alpha, \beta)} = R \cdot X^\alpha Y^\beta \oplus 0 \longrightarrow R \cdot X^\alpha Y^\beta \longrightarrow 0} { }
und der Komplex ist exakt. Wenn $\alpha$ und $\beta$ beide negativ sind, so steht hier insgesamt
\mathdisp {( A_{X} \times A_Y )_{(\alpha, \beta)} = 0 \oplus 0 \longrightarrow R \cdot X^\alpha Y^\beta \longrightarrow 0} { }
und die hintere Homologie ist
\mathl{R \cdot X^\alpha Y^\beta}{.} Insgesamt ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ 0 } ( D(X),D(Y) , {\mathcal O}_{ {\mathbb A}^{2}_{R} } )
}
{ =} { \bigoplus_{(\alpha, \beta) \in \N^2 } R \cdot X^\alpha Y^\beta
}
{ =} { A
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ 1 } ( D(X),D(Y) , {\mathcal O}_{ {\mathbb A}^{2}_{R} } )
}
{ = }{ \bigoplus_{(\alpha, \beta) \in \Z_-^2 } R \cdot X^\alpha Y^\beta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{R[X,Y,Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Čechkomplex}{}{}
zur
\definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{}
ist
\mathdisp {0 \longrightarrow A_{X} \times A_Y \times A_Z \longrightarrow A_{XY} \times A_{XZ} \times A_{YZ} \longrightarrow A_{XYZ } \longrightarrow 0} { . }
Dieser Komplex ist mit der feinen Monomgraduierung verträglich. Es ist $\check{H}^0$ gleich $A$, $\check{H}^1$ ist $0$
\zusatzklammer {siehe
Satz 27.3} {} {}
und $\check{H}^2$ ist der freie $R$-Modul mit der Basis
\mathbed {X^iY^jZ^k} {}
{(i,j,k) \in \Z_-^3} {}
{} {} {} {.}
}
\inputfaktbeweis
{Polynomring/n/Cech-Kohomologie/Berechnung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{R[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $R$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Variablen.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Čech-Kohomologie}{}{}
zur
\definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{}
und zur Überdeckung
\mathbed {D(X_i)} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
der offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ D { \left( X_1 , \ldots , X_n \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ p } ( D(X_i), {\mathcal O}_{ { {\mathbb A}_{ R }^{ n } } } )
}
{ =} { \begin{cases} A \text{ für } p = 0, \\ 0 \text{ für } 1 \leq p \leq n-2,\\ \bigoplus_{\alpha \in \Z_-^n} R \cdot X^\alpha \text{ für } p = n-1 \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Čechkomplex}{}{}
mit der feinen durch die Monome gegebenen $\Z^n$-Graduierung. Zu einem fixierten Tupel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\alpha
}
{ =} { (\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)
}
{ \in} { \Z^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ = }{N_\alpha
}
{ \subseteq }{ \{ 1 , \ldots , n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge der Indizes mit negativem Eintrag. Zu diesem $\alpha$ ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \left( \check{C}^{ p } ({ D(X_i) }, {\mathcal O}_{ { {\mathbb A}_{ }^{ n } } } ) \right) }_{\alpha}
}
{ =} { { \left( \prod_{1 \leq i_0 < i_1 < \cdots < i_p \leq n} A_{X_{i_0}X_{i_1} \cdots X_{i_p} } \right) }_{\alpha}
}
{ =} { \prod_{N \subseteq L,\, { \# \left( L \right) } = p+1 } R \cdot e_L
}
{ \cong} { \prod_{J \subseteq \{1 , \ldots , n \} \setminus N,\, { \# \left( J \right) } = p+1 - { \# \left( N \right) } } R \cdot e_J
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Identifikation in der Mitte beruht darauf, dass die Komponente zu
\mathl{A_{ \prod_{ i \in L} X_i}}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \not\subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich $0$ ist und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich $R \cdot X^\alpha$. Das Monom $X^\alpha$ in dieser Nenneraufnahme entspricht $e_L$. Bei der Identifikation rechts entspricht $e_J$ dem Basiselement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e_L
}
{ = }{e_{N \cup J}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Komplex zum Index $\alpha$ entspricht also einem
\definitionsverweis {aufsteigenden Binomialkomplex}{}{}
zur Indexmenge
\mathl{\{1 , \ldots , n \} \setminus N}{} zum Ring $R$
\zusatzklammer {statt $\Z$} {} {,}
allerdings ohne einen freien Summanden links für die leere Menge.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zumindest einem negativen Exponenten steht rechts höchstens ein isoliertes $R \cdot X^\alpha$. Dies wird aber
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
nicht auf $0$ abgebildet und somit hat dies keinen Beitrag zu $H^0$. Wenn hingegen alle Exponenten nichtnegativ sind, so sind die Elemente gleich
\mathdisp {(c_1 X^\alpha , \ldots , c_n X^\alpha)} { , }
und dieses wird genau dann auf $0$ abgebildet, wenn die Koeffizienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmen. Daher ist die nullte Čechkohomologie gleich dem Polynomring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \bigoplus_{\alpha \in \N^n} R \cdot X^\alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \neq }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Situation isomorph zu einem aufsteigenden Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge und daher ist die Homologie trivial nach
Lemma Anhang 8.11.
Daher ist die Homologie überhaupt trivial für alle $p$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {n-2} {.}
Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{n-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies sind die $\alpha$ mit ausschließlich negativen Exponenten. Der Komplex
\zusatzklammer {entspricht dem leeren aufsteigenden Binomialkomplex} {} {}
ist
\mathdisp {0 \longrightarrow R \cdot X^\alpha \longrightarrow 0} { }
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^{n-1}
}
{ =} { \bigoplus_{\alpha \in \Z_-^n} R \cdot X^\alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Kohomologie auf projektiven Schemata}
\inputfaktbeweis
{Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarbe/Garbenkohomologie/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{R[X_0,X_1 , \ldots , X_d]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $R$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d+1
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Variablen und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb P}^{d}_{R}
}
{ =} { \operatorname{Proj} { \left( A \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Kohomologie der
\definitionsverweis {getwisteten Strukturgarben}{}{}
${\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} } (n)$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ p } ( {\mathbb P}^{d}_{R}, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} } (n) )
}
{ =} { \begin{cases} A_n \text{ für } p = 0, \\ 0 \text{ für } 1 \leq p \leq d-1,\\ \bigoplus_{\alpha \in \Z_-^{d+1} ,\, \sum_{ j = 1}^ {d+1} \alpha_j = n} R \cdot X^\alpha \text{ für } p = d \, .\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 27.3.
Speziell ist für die
\definitionsverweis {kanonische Garbe}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} } ( -d-1)}{}
\zusatzklammer {vergleiche
Korollar 19.10} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^d { \left( {\mathbb P}^{d}_{R} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} } ( -d-1) \right) }
}
{ =} { R X_0^{-1}X_1^{-1} \cdots X_n^{-1}
}
{ \cong} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^d { \left( {\mathbb P}^{d}_{R} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} } (n) \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ > }{ -d-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Projektiver Raum/Kohärente Garbe/Endlichkeitssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${\mathbb P}^{n}_{R}$ der
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {noetherschen Ring}{}{}
$R$ und sei ${ \mathcal F }$ eine
\definitionsverweis {kohärente Garbe}{}{}
auf ${\mathbb P}^{n}_{R}$.}
\faktfolgerung {Dann sind die
\mathl{H^i( {\mathbb P}^{n}_{R}, { \mathcal F } )}{}
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für die
\definitionsverweis {getwisteten Strukturgarben}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R} } ( \ell)}{} ergibt sich die Aussage aus
Satz 27.4.
Damit gilt sie auch für endliche direkte Summen von solchen Garben. Den allgemeinen Fall beweisen wir durch absteigende Induktion über den kohomologischen Index $i$. Wenn dieser oberhalb von $n$ liegt, so gibt es
nach Satz 26.10
nur triviale Kohomologie
\zusatzklammer {wenn $R$ endliche
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
besitzt, so kann man auch mit
Satz 25.12
argumentieren} {} {,}
was den Induktionsanfang sichert. Es sei also die Aussage für ein $i$ und jede kohärente Garbe bewiesen. Es sei ${ \mathcal F }$ eine kohärente Garbe. Dann gibt es nach
Satz 15.13
eine endliche direkte Summe
\mathl{\bigoplus_{j \in J} {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R} } ( \ell_j)}{} und einen surjektiven
${\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} }$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \bigoplus_{j \in J} {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R} } ( \ell_j) } { { \mathcal F }
} {.}
Es sei ${ \mathcal G }$ der Kern dieser Abbildung, der
nach Aufgabe 14.20
ebenfalls kohärent ist. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz zur Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal G } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, \bigoplus_{j \in J} {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R} } ( \ell_j) \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal F } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
ist
\mathdisp {\ldots \longrightarrow H^{i-1}( {\mathbb P}^{n}_{R}, \bigoplus_{j \in J} {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R} } ( \ell_j) ) \stackrel{\epsilon}{ \longrightarrow } H^{i-1}( {\mathbb P}^{n}_{R}, { \mathcal F } ) \stackrel{\delta}{ \longrightarrow} H^{i}( {\mathbb P}^{n}_{R}, { \mathcal G } ) \longrightarrow \ldots} { . }
Dazu gehört die kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \operatorname{bild} \epsilon = \operatorname{kern} \delta \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, H^{i-1}( {\mathbb P}^{n}_{R}, { \mathcal F } ) \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \operatorname{bild} \delta \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
Nach der Vorüberlegung bzw. der Induktionsvoraussetzung sind
\mathkor {} {H^{i-1}( {\mathbb P}^{n}_{R}, \bigoplus_{j \in J} {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R} } ( \ell_j) )} {und} {H^{i}( {\mathbb P}^{n}_{R}, { \mathcal G } )} {}
endlich erzeugte $R$-Moduln und daher sind auch $\operatorname{bild} \epsilon$ und nach
Satz 10.4 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
auch
\mathl{\operatorname{kern} \delta}{} endlich erzeugt. Nach
Lemma 20.8 (Kommutative Algebra)
ist auch
\mathl{H^{i-1}( {\mathbb P}^{n}_{R}, { \mathcal F } )}{} endlich erzeugt.
\inputfaktbeweis
{Projektive Varietät/Quasikohärente Garbe/Vorschub/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {projektives Schema}{}{}
über einem
\definitionsverweis {noetherschen Ring}{}{}
$R$ mit einer
\definitionsverweis {abgeschlossenen Einbettung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{n}_{R}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einen projektiven Raum. Es sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {quasikohärente Garbe}{}{}
auf $X$ und
\mathl{j_* { \mathcal G }}{} die
\definitionsverweis {vorgeschobene Garbe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H^i(X, { \mathcal G } )
}
{ =} { H^i( {\mathbb P}^{n}_{R} , j_* { \mathcal G })
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die vorgeschobene Garbe ist wieder quasikohärent. Nach
Satz 26.10
kann man beide Seiten mit
\definitionsverweis {Čech-Kohomologie}{}{}
bezüglich der affinen Standardüberdeckung
\mathl{D_+(X_s)}{} des projektiven Raumes bzw. der Überdeckung $X \cap D_+(X_s)$ von $X$ berechnen. Dabei stimmt der gesamte
\definitionsverweis {Čech-Komplex}{}{}
überein und insbesondere die Čech-Kohomologie.
\inputfaktbeweis
{Projektive Varietät/Kohärente Garbe/Endlichkeitssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {projektives Schema}{}{}
über einem
\definitionsverweis {noetherschen Ring}{}{}
$R$ und sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {kohärente Garbe}{}{}
auf $X$.}
\faktfolgerung {Dann sind die
\mathl{H^i(X, { \mathcal G } )}{}
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Man beachte, dass es um $R$-Moduln geht, nicht um Moduln über dem Koordinatening von $X$. Im wichtigsten Fall, wenn $R= K$ ein Körper ist, handelt es sich also bei den Kohomologiegruppen um endlichdimensionale Vektorräume über $K$. Deren Dimensionen sind natürliche Zahlen, die den kohärente Garben auf $X$ zugeordnet werden und für diese in gewisser Weise charakteristisch sind. Wenn man die Strukturgarbe oder die Tangentialgarbe auf $X$ nimmt, so erhält man Zahlen
\zusatzklammer {Invarianten} {} {,}
die für $X$ selbst charakteristisch sind. In diesem Zusammenhang setzt man abkürzend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h^i( { \mathcal F } )
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( H^i(X, { \mathcal F }) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beispielsweise ist für eine glatte projektive Kurve $X$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ die Vektorraumdimension von
\mathl{H^1 (X, {\mathcal O}_{ X } )}{} das sogenannte \stichwort {Geschlecht} {} der Kurve. Dies ist die wichtigste Invariante, wobei im komplexen Fall ein unmittelbarer Zusammenhang mit der topologischen Gestalt der Kurve
\zusatzklammer {als komplex eindimensionale, reell zweidimensionale Mannigfaltigkeit} {} {}
besteht.
\zwischenueberschrift{Die Euler-Charakteristik}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {projektives Schema}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
Zu einer
\definitionsverweis {kohärenten Garbe}{}{}
${ \mathcal G }$ nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi { \left( { \mathcal G } \right) }
}
{ \defeq} { \sum_{i = 0}^{ \operatorname{dim} { \left( X \right) } } (-1)^i h^i(X, { \mathcal G } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Euler-Charakteristik}{}
von ${ \mathcal G }$.
}
Wegen Satz 27.7 ist dieser Ausdruck eine wohldefinierte ganze Zahl. Da oberhalb der Dimension die Kohomologie gleich $0$ ist, könnte man die alternierende Summe auch gegen unendlich laufen lassen.
\inputfaktbeweis
{Projektives Schema/Körper/Garbe/Euler-Charakteristik/Additivität/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {projektives Schema}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Euler-Charakteristik}{}{}
von
\definitionsverweis {kohärenten Garben}{}{}
auf $X$ additiv für kurze exakte Sequenzen.}
\faktzusatz {D.h. für eine kurze exakte Sequenz von kohärenten Garben
\mathdisp {0 \longrightarrow { \mathcal F } \longrightarrow { \mathcal G } \longrightarrow { \mathcal H } \longrightarrow 0} { }
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi { \left( { \mathcal G } \right) }
}
{ =} { \chi { \left( { \mathcal F } \right) } + \chi { \left( { \mathcal H } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ergibt sich aus der zugehörigen langen exakten Kohomologiesequenz und Satz 25.12
mit der Dimensionsformel.