Kurs:Differentialgeometrie/4/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	4	5	4	0	4	6	2	6	4	10	10	0	61

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Weingartenabbildung in ${}T_{P}Y$ zu einem Punkt ${}P\in Y$ auf einer orientierten differenzierbaren Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
2. Eine reelles Vektorbündel ${}V$ vom Rang ${}r$ über einem topologischen Raum ${}X$.
3. Das Wegintegral zu einer ${}1$-Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
4. Eine positive Volumenform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Eine geschlossene Differentialform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
6. Die tangentiale Beschleunigung einer zweifach stetig differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Normalkrümmung.
2. Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
3. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen Krümmung und Einheitsnormalenvektor einer bogenparametrisierten ebenen Kurve.

Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre ${}Y$ das tangentiale Vektorfeld

${}F{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}F$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.
2. Bestimme für den Punkt ${}P={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\in Y$ eine Matrix für die Abbildung

   $T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$

   bezüglich einer geeigneten Basis.

3. Bestimme für den Punkt ${}Q={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\in Y$ eine Matrix für die Abbildung

   $T_{Q}Y\longrightarrow T_{Q}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$

   bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die Ellipse

${}E={\left\{(u,v)\mid 2u^{2}+5v^{2}=4\right\}}\,.$

1. Definiere eine surjektive stetig differenzierbare Abbildung ${}\mathbb {R} \rightarrow E$.
2. Beschreibe einen Diffeomorphismus zwischen der Sphäre ${}S^{1}$ und ${}E$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein stetiges Vektorfeld auf ${}S^{2}$ an, das nur eine Nullstelle besitzt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Verklebungsdatum ${}U_{i}$, ${}i\in I$, für topologische Räume gegeben. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten topologischen Raum ${}X$, eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ und Homöomorphismen ${}\psi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V_{i}$ derart gibt, dass

${}\psi _{i}{\left(U_{ij}\right)}=V_{i}\cap V_{j}\,$

ist und

${}\psi _{i}{|}_{U_{ij}}=\psi _{j}{|}_{U_{ji}}\circ \varphi _{ji}\,$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ eine differenzierbare Kurve in ${}M$ und ${}\omega$ eine differenzierbare ${}1$- Form auf ${}M$. Zeige, dass

${}\gamma ^{*}(d\omega )=0\,$

ist.

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit zumindest zwei Punkten.

1. Zeige, dass eine exakte stetige ${}1$- Differentialform auf ${}M$ zumindest zwei Nullstellen besitzt.
2. Zeige, dass dies für eine geschlossene Differentialform nicht gelten muss.

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen ${}\mathbb {R} ^{1}$ besteht.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Partition der Eins.

Aufgabe * (10 (2+6+2) Punkte)

Wir betrachten die ${}2$- Differentialform

${}\omega =xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy\,$

auf der Einheitskugel ${}B\left(0,1\right)$.

a) Zeige, dass ${}d\omega$ das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist.

b) Zeige, dass ${}\omega {|}_{S^{2}}$ die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist.

c) Berechne die Kugeloberfläche aus dem Kugelvolumen mit dem Satz von Stokes.

Aufgabe (0 Punkte)