Kurs:Differentialgeometrie/7/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 4 5 4 9 0 8 6 0 3 3 0 0 7 55




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Gaußkrümmung zu einer differenzierbaren Fläche in einem Punkt .
  2. Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension .
  3. Ein zeitunabhängiges Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  4. Eine Differentialform vom Grad auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  5. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
  6. Ein torsionsfreier linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Existenzsatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche.
  2. Der Satz über die lokale Beschreibung von Differentialformen.
  3. Die Quaderversion des Satzes von Stokes.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei die durch

gegebene Ellipse im , und Punkte auf .

  1. Zeige, dass

    ein Tangentialvektor in an ist.

  2. Bestimme das Bild von unter einem Paralleltransport auf von nach .



Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Orientierungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche.



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei , offen, eine differenzierbare Fläche versehen mit einem Einheitsnormalenfeld . Es sei eine stetig differenzierbare Kurve und sei

ein differenzierbares tangentiales Vektorfeld längs , das parallel sei. Zeige, dass dann auch das Vektorfeld

parallel ist, wobei das Kreuzprodukt im bezeichnet.



Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension . Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit die Dimension besitzt.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion und

der Graph von . Zeige, dass eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit ist und dass für die kanonische Volumenform auf die Formel

gilt.



Aufgabe (6 Punkte)

Berechne die Oberfläche der Einheitskugel.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung der - Differentialform

auf .



Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen Kreisen besteht.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel gegeben, der metrisch und torsionsfrei sei. Zeige, dass für Vektorfelder die Formel

gilt.