Kurs:Differentialgeometrie/7/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 4 | 5 | 4 | 9 | 0 | 8 | 6 | 0 | 3 | 3 | 0 | 0 | 7 | 55 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Gaußkrümmung zu einer differenzierbaren Fläche in einem Punkt .
- Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension .
- Ein zeitunabhängiges Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
- Eine Differentialform vom Grad auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
- Eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
- Ein torsionsfreier linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Existenzsatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche.
- Der Satz über die lokale Beschreibung von Differentialformen.
- Die Quaderversion des Satzes von Stokes.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)
Es sei die durch
gegebene Ellipse im , und Punkte auf .
- Zeige, dass
ein Tangentialvektor in an ist.
- Bestimme das Bild von unter einem Paralleltransport auf von nach .
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise den Satz über die Orientierungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei , offen, eine differenzierbare Fläche versehen mit einem Einheitsnormalenfeld . Es sei eine stetig differenzierbare Kurve und sei
ein differenzierbares tangentiales Vektorfeld längs , das parallel sei. Zeige, dass dann auch das Vektorfeld
parallel ist, wobei das Kreuzprodukt im bezeichnet.
Aufgabe * (9 Punkte)
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension . Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten
derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit die Dimension besitzt.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (8 Punkte)
Es sei
eine differenzierbare Funktion und
der Graph von . Zeige, dass eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit ist und dass für die kanonische Volumenform auf die Formel
gilt.
Aufgabe (6 Punkte)
Berechne die Oberfläche der Einheitskugel.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen Kreisen besteht.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel gegeben, der metrisch und torsionsfrei sei. Zeige, dass für Vektorfelder die Formel
gilt.