(mit
und
)
das Produkt der Mannigfaltigkeiten und .
Es handelt sich dabei in der Tat um eine Mannigfaltigkeit, siehe
Aufgabe 11.1.
Eine Produktmannigfaltigkeit der Form nennt man auch Zylinder über . Zu abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten
und
ist die Produktmannigfaltigkeit eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von
,
siehe
Aufgabe 11.2.
Zum Nachweis der Bijektivität kann man zu Karten übergehen und annehmen, dass
und
offene Teilmengen sind. Diese Abbildung wird dann zur Bijektion
(3). Für einen fixierten Punkt
kann man unter Verwendung von Kartenumgebungen von und von
und
sich darauf zurückziehen, dass alle drei Mannigfaltigkeiten offene Mengen in euklidischen Räumen sind. Wenn beide Abbildungen stetig differenzierbar sind, so folgt nach
Aufgabe 45.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
die stetige Differenzierbarkeit der Gesamtabbildung. Die Umkehrung ist klar.
Das
Produkt
der
Kreislinie
mit sich selbst, also
,
heißt Torus. Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da
eine
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im
realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im realisieren. Dazu seien
und
positive reelle Zahlen mit
.
Dann ist die Menge
ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines
(aufgeblasenen)
„Fahrradschlauches“, dessen „Radradius“ gleich und dessen „Schlauchradius“ gleich ist
(das Rad liegt in der -Ebene).
Der Zusammenhang mit dem Produkt ergibt sich, indem man dem Produktwinkel den Punkt zuordnet.
Statt Differentialoperator erster Ordnung sagt man auch Derivation.
Zu einer offenen Menge
sind die partiellen Ableitungen und als Operationen auf zweifach stetig differenzierbaren Funktionen vertauschbar, also
Eine Linearkombination
mit auf definierten reellwertigen Funktionen kann man als
Vektorfeld
und ebenso als Ableitungsoperator
auffassen
(oder von nach ).
In diesem Sinne entsprechen sich Vektorfelder und Differentialoperatoren der ersten Ordnung. Differentialoperatoren kann man aber darüber hinaus miteinander verknüpfen, wobei sich herausstellt, dass es auf die Reihenfolge ankommt.
Auf einer Mannigfaltigkeit bezeichnen wir den Differentialoperator zu einem Vektorfeld mit . Zu einer differenzierbaren Funktion
ist
.
Angewendet auf einen Punkt
ist
Entsprechendes gilt für eine auf einer offenen Teilmenge von definierten differenzierbaren Funktion.
Es seien
und
stetig differenzierbare
Vektorfelder
auf einer
-
differenzierbaren Mannigfaltigkeit
mit den zugehörigen Differentialoperatoren und . Dann nennt man das Vektorfeld, das der Hintereinanderschaltung entspricht, die
Lie-Klammer
der beiden Vektorfelder. Sie wird mit bezeichnet.
Es ist eine Konvention, welche Reihenfolge der Operatoren mit einem Minuszeichen in die Definition eingeht.