Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Krümmung}
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
zweifach stetig differenzierbare Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ und sei $\nabla$ ein
\definitionsverweis {linearer Zusammenhang}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {Vektorbündel}{}{}
\maabb {p} {E} {M
} {}
über $M$. Es ist
\maabbeledisp {\nabla_W} {C^2(E) } { C^1 (E)
} {s} { \nabla_W (s)
} {,}
die
\definitionsverweis {vertikale Ableitung}{}{.}
Auf das Ergebnis $\nabla_W (s)$ kann man wiederum die vertikale Ableitung in Richtung $V$ anwenden und erhält den stetigen Schnitt
\mathl{\nabla_V { \left( \nabla_W (s) \right) }}{.} Wenn alle Objekte $C^\infty$ sind, muss man sich über die Differenzierbarkeitsgrade keine Gedanken machen. Hier betrachten wir den Ausdruck
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R(V,W)
}
{ =} { \nabla_V \nabla_W - \nabla_W \nabla_V- \nabla_{[V,W]}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der aus
\zusatzklammer {hinreichend differenzierbaren} {} {}
Schnitten in $E$ wieder einen Schnitt in $E$ produziert. Dabei ist
\mathl{[V,W]}{} die
\definitionsverweis {Lie-Klammer}{}{}
von Vektorfeldern.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine zweifach stetige \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und sei \maabb {} {E} {M } {} ein zweifach stetig \definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{} über $M$ mit einem \definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{} $\nabla$. Dann nennt man zu differenzierbaren \definitionsverweis {Vektorfeldern}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} auf $M$ die Abbildung \maabbeledisp {} {C^2(E)} {C^0(E) } {s} { \nabla_V \nabla_W (s) - \nabla_W \nabla_V (s) - \nabla_{[V,W]}(s) } {,} den \definitionswort {Krümmungsoperator}{} zu $V$ und $W$. Er wird mit $R(V,W)$ bezeichnet.
}
\inputfaktbeweis
{Reelles Vektorbündel/Trivial/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator/Beschreibung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und $\nabla$ ein
\definitionsverweis {linearer Zusammenhang}{}{}
auf dem trivialen
\definitionsverweis {Vektorbündel}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ = }{ U \times \R^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mathbed {\partial_i} {}
{1 \leq i \leq d} {}
{} {} {} {}
die
\definitionsverweis {Standardvektorfelder}{}{}
und
\mathbed {s_j} {}
{1 \leq j \leq r} {}
{} {} {} {}
die Standardschnitte in $E$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für den
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R( \partial_i , \partial_j)(s_k)
}
{ =} { \sum_{\ell = 1}^r R^\ell_{ijk} s_\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^\ell_{ijk}
}
{ =} { {\partial_i} \Gamma^\ell_{jk} - {\partial_j} \Gamma^\ell_{ik} + \sum_{ a = 1}^r \Gamma^a_{jk} \Gamma_{i a}^\ell -\sum_{ a = 1}^r \Gamma^a_{ik} \Gamma_{j a}^\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die $\Gamma^\ell_{ik}$ die lokalen
\definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
des Zusammenhangs bezeichnen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ R( \partial_i ,\partial_j)
}
{ =} { \nabla_{\partial_i} \circ \nabla_{\partial_j} - \nabla_{\partial_j} \circ \nabla_{\partial_i} - \nabla_{[\partial_i, \partial_j]}
}
{ =} { \nabla_{\partial_i} \circ \nabla_{\partial_j} - \nabla_{\partial_j} \circ \nabla_{\partial_i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
da ja die partiellen Ableitungen kommutieren und daher ihre Lie-Klammer gleich $0$ ist. Für einen Standardschnitt $s_k$ ist daher unter Verwendung von
Lemma 25.10
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ R( \partial_i ,\partial_j) (s_k)
}
{ =} { \nabla_{\partial_i} ( \nabla_{\partial_j} (s_k) ) - \nabla_{\partial_j} ( \nabla_{\partial_i} (s_k))
}
{ =} { \nabla_{\partial_i} { \left( \sum_{\ell = 1}^r \Gamma^\ell_{jk} s_\ell \right) } - \nabla_{\partial_j} { \left( \sum_{\ell = 1}^r \Gamma^\ell_{ik} s_\ell \right) }
}
{ =} { \sum_{\ell = 1}^r { \left( \nabla_{\partial_i} { \left( \Gamma^\ell_{jk} s_\ell \right) } - \nabla_{\partial_j} { \left( \Gamma^\ell_{ik} s_\ell \right) } \right) }
}
{ =} { \sum_{\ell = 1}^r { \left( {\partial_i} \Gamma^\ell_{jk} s_\ell + \Gamma^\ell_{jk} \sum_{ \rho = 1}^r \Gamma_{i \ell}^\rho s_\rho - {\partial_j} \Gamma^\ell_{ik} s_\ell - \Gamma^\ell_{ik} \sum_{ \rho = 1}^r \Gamma_{j \ell}^\rho s_\rho \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{\ell = 1}^r { \left( {\partial_i} \Gamma^\ell_{jk} - {\partial_j} \Gamma^\ell_{ik} \right) } s_\ell + \sum_{\ell = 1}^r \sum_{ \rho = 1}^r { \left( \Gamma^\ell_{jk} \Gamma_{i \ell}^\rho s_\rho - \Gamma^\ell_{ik} \Gamma_{j \ell}^\rho s_\rho \right) }
}
{ =} { \sum_{\ell = 1}^r { \left( {\partial_i} \Gamma^\ell_{jk} - {\partial_j} \Gamma^\ell_{ik} \right) } s_\ell + \sum_{\ell = 1}^r { \left( \sum_{ a = 1}^r \Gamma^a_{jk} \Gamma_{i a}^\ell -\sum_{ a = 1}^r \Gamma^a_{ik} \Gamma_{j a}^\ell \right) } s_\ell
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Reelles Vektorbündel/Rang 1/Offene Menge/Krümmungsoperator/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und sei $\nabla$ ein
\definitionsverweis {linearer Zusammenhang}{}{}
auf dem trivialen Vektorbündel
\mathl{U \times \R}{} vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$1$ mit den
\definitionsverweis {Christoffelsymbolen}{}{}
\mathbed {\Gamma_i} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen für den
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
zu den
\definitionsverweis {Standardvektorfeldern}{}{}
$\partial_i$.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R(\partial_i, \partial_j)
}
{ =} { \partial_i \Gamma_j - \partial_j \Gamma_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Genau dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R(\partial_i, \partial_j)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$, wenn die
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
$\sum_{i = 1}^n \Gamma_i dx_i$
\definitionsverweis {geschlossen}{}{}
ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungzwei {Da der Rang des Bündels gleich $1$ ist, schreiben wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_i
}
{ = }{ \Gamma_{i1}^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und entsprechend
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R_{ij}
}
{ = }{ R_{ij1}^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die Aussage ist als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R(\partial_i, \partial_j) (e)
}
{ =} { { \left( \partial_i \Gamma_j - \partial_j \Gamma_i \right) } e
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit dem konstanten Einheitsschnitt $e$ zu verstehen. Nach der expliziten Beschreibung in
Lemma 28.2
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R( \partial_i , \partial_j)
}
{ =} { {\partial_i} \Gamma_{j} - {\partial_j} \Gamma_{i} + \Gamma_{j} \Gamma_{i } - \Gamma_{i} \Gamma_{j }
}
{ =} { {\partial_i} \Gamma_{j} - {\partial_j} \Gamma_{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Dies folgt aus (1) und aus
Aufgabe 20.8.
}
\inputfaktbeweis
{Reelles Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine zweifach stetige
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und sei
\maabb {} {E} {M
} {}
ein zweifach stetig
\definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{}
über $M$ mit einem
\definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{}
$\nabla$.}
\faktuebergang {Dann erfüllt der
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
die folgenden Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R(V,W)
}
{ =} { -R(W,V)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{$R$ ist additiv in beiden Komponenten.
}{Für eine differenzierbare Funktion
\maabb {f} {M} { \R
} {}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R(fV,W)
}
{ =} { f R(V,W)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Eigenschaften sind lokal in der Mannigfaltigkeit, man kann sie also auf einer offenen Überdeckung nachweisen, wobei die offenen Teilmengen diffeomorph zu offenen Mengen im $\R^d$ sind und worauf das Vektorbündel trivial ist. Somit folgt (1) aus
Lemma 28.2.
(2) folgt aus
Lemma 24.10
und aus
Lemma 11.8.
(3) Wir betrachten die lokale Situation mit den Vektorfeldern $f \partial_i$ und $g \partial_j$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R(f \partial_i, g \partial_j)
}
{ =} { \nabla_{f \partial_i} \circ \nabla_{g \partial_j} - \nabla_{g\partial_j} \circ \nabla_{f \partial_i} - \nabla_{[ f \partial_i, g \partial_j]}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 11.8
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [f \partial_i, g\partial_j]
}
{ =} { f [\partial_i, g\partial_j] - g \partial_j(f) \partial_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist für einen Schnitt $s$ unter Verwendung von
Satz 25.5
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ R(f \partial_i, g\partial_j) (s)
}
{ =} { \nabla_{f \partial_i} \circ \nabla_{g \partial_j} (s)- \nabla_{g \partial_j} \circ \nabla_{f \partial_i} (s)- \nabla_{[ f \partial_i, g \partial_j]}(s)
}
{ =} { f \nabla_{ \partial_i} ( \nabla_{g\partial_j} (s) ) - \nabla_{g\partial_j} ( \nabla_{f \partial_i} (s)) - \nabla_{ f [\partial_i, g\partial_j] - g \partial_j(f) \partial_i } (s)
}
{ =} { f \nabla_{ \partial_i} ( \nabla_{ g \partial_j} (s) )-\nabla_{ g \partial_j} (f \nabla_{ \partial_i} (s)) - \nabla_{f [\partial_i, g\partial_j] } (s) + \nabla_{ g \partial_j (f) \partial_i } (s)
}
{ =} { f \nabla_{ \partial_i} ( \nabla_{ g \partial_j} (s) )- f \nabla_{ g \partial_j} ( \nabla_{ \partial_i} (s))- g \partial_j(f) \nabla_{\partial_i} (s) - \nabla_{f [\partial_i, g\partial_j] } (s) + g \partial_j( f) \nabla_{\partial_i} (s)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { f \nabla_{ \partial_i} ( \nabla_{g \partial_j} (s) )- f \nabla_{ g \partial_j} ( \nabla_{ \partial_i} (s)) - f \nabla_{[\partial_i, g \partial_j]} (s)
}
{ =} { f R( \partial_i, \partial_j) (s)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{.}
Wegen (1) und (2) folgt daraus die Aussage.
\inputfaktbeweis
{Eindimensionale Mannigfaltigkeit/Reelles Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator trivial/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine eindimensionale
$C^2$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und sei
\maabb {} {E} {M
} {}
ein zweifach stetig
\definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{}
über $M$ mit einem
\definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{}
$\nabla$.}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
für beliebige
\definitionsverweis {Vektorfelder}{}{}
$V,W$ trivial.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Aussage ist lokal, daher können wir direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein offenes Intervall und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ f \partial
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ g \partial
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Standardvektorfeld}{}{}
$\partial$ ansetzen. Nach
Lemma 28.4 (3)
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R(f \partial, g \partial)
}
{ =} { fg R( \partial, \partial)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [\partial, \partial ]
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Reelles Vektorbündel/Trivialer Zusammenhang/Trivialer Krümmungsoperator/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine
$C^2$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ = }{ M \times \R^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {triviale Vektorbündel}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {trivialen Zusammenhang}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist für beliebige
\definitionsverweis {Vektorfelder}{}{}
$V,W$ der
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
$R(V,W)$ trivial.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Aussage ist lokal, wir können also von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen ausgehen. Nach
Lemma 28.4 (3)
können wir weiter auf den Fall reduzieren, dass die Vektorfelder
\definitionsverweis {Standardvektorfelder}{}{}
$\partial_i$ sind. Nach
Aufgabe 25.11
sind die Christoffelsymbole zum trivialen Zusammenhang trivial, also folgt die Aussage aus
Lemma 28.2.
\zwischenueberschrift{Der Satz von Frobenius}
Den folgenden Satz können wir nicht vollständig beweisen. Man beachte, dass man es bei \zusatzklammer {lokal} {} {} gegebenen Basisschnitten den Christoffelsymbolen nicht ansieht, ob bezüglich anderen Basisschnitten die Christoffelsymbole verschwinden. Dies wird eben durch das verschwinden der Krümmung charakterisiert.
\inputfaktbeweis
{Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Lokal integrabel/Krümmung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbdisp {p} {E} {M
} {}
ein
\definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{,}
das mit einem
\definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{}
$\nabla$ versehen sei.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Der Zusammenhang ist
\definitionsverweis {lokal integrabel}{}{.}
}{Der Zusammenhang ist lokal bezüglich geeigneter
\definitionsverweis {Basisschnitte}{}{}
isomorph zum
\definitionsverweis {trivialen Zusammenhang}{}{.}
}{Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine offene Kartenumgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $E {{|}}_U$ trivial ist und dass die zugehörigen
\definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
die Nullfunktionen sind.
}{Der
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
ist für beliebige
\definitionsverweis {Vektorfelder}{}{}
trivial.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Alle Aussagen sind lokal, man kann also direkt von einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dem trivialen Vektorbündel $U \times \R^r$ ausgehen. Sei (1) erfüllt. Dann kann man weiter annehmen, dass auf $U$ eine Familie von $r$ linear unabhängigen
\definitionsverweis {horizontalen Schnitten}{}{}
\mathl{s_1 , \ldots , s_r}{} gegeben ist. Nach
Aufgabe 25.6
und
Aufgabe 25.7
kann man dann den Zusammenhang lokal trivialisieren. Dies ergibt (2). Die Äquivalenz von (2) und (3) beruht auf
Aufgabe 25.11
und auf
Bemerkung 25.8.
Wenn die Christoffelsymbole trivial sind, so sind die Standardschnitte horizontal und ergeben lokal horizontale Basisschnitte. Insgesamt sind also die ersten drei Formulierungen äquivalent. Wenn (2) gilt, so kann man lokal
Korollar 28.6
anwenden und erhält, dass der Krümmungsoperator trivial ist.
Die Richtung von (4) nach (1) ist deutlich schwieriger.
Für Spezialfälle der Richtung von (4) nach (1) siehe
Aufgabe 28.4
und
Aufgabe 28.5.