Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 6/latex

\setcounter{section}{6}






\zwischenueberschrift{Kovariante Ableitung}

Zu einer differenzierbaren Hyperfläche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} möchte man Ableitungskonzepte, die im umgebenden Raum $\R^n$ einfach definiert sind, mit einem natürlichen Bezug zu $Y$ definieren. Man spricht von kovarianter Ableitung, das wichtigste Hilfsmittel ist die orthogonale Projektion \maabbdisp {\pi_P} {\R^n} {T_PY } {} zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $W$ \definitionsverweis {offen}{}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ T_PY }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Tangentialvektor}{}{.} Es sei \maabbdisp {F} { U} { \R^n } {} ein differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definiert sei und das auf $Y \cap U$ tangential an $Y$ sei. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_v F }
{ \defeq} { \pi_P { \left( { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei \maabbdisp {\pi_P} {\R^n} { T_PY } {} die \definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{} bezeichnet, die \definitionswort {kovariante Ableitung}{} von $F$ in Richtung $v$.

}

Es liegt insgesamt die Situation
\mathdisp {T_PY \longrightarrow \R^n \stackrel{ \left(DF\right)_{P} }{\longrightarrow} \R^n\stackrel{ \pi_P }{\longrightarrow} T_PY} { }
vor und $\nabla_v F$ ist das Ergebnis, wenn man vorne den Tangentialvektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ T_PY }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einsetzt. Wenn $N$ ein Einheitsnormalenfeld bezeichnet, so ist die kovariante Ableitung gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_v F }
{ =} { { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } - \left\langle { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } , N(P) \right\rangle N(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da man ja so das orthogonale Komplement berechnet.




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{W }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $W$ \definitionsverweis {offen}{}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{} und sei \maabbdisp {G} {Y} {TY } {} ein tangentiales Vektorfeld auf $Y$. Es sei \maabbdisp {F} { U} { \R^n } {} ein differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definiert sei und das auf $Y \cap U$ tangential an $Y$ sei. Dann nennt man das tangentiale Vektorfeld \maabbdisp {\nabla_G F} { Y \cap U } { T(Y \cap U) } {,} das durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \nabla_G F \right) } (P) }
{ \defeq} { \nabla_{G(P)} F }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert ist, die \definitionswort {kovariante Ableitung}{} von $F$ in Richtung $G$.

}





\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich Tangentenvektor/Kovariante Ableitung/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $W$ \definitionsverweis {offen}{}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Zu einem fixierten differenzierbaren \definitionsverweis {tangentialen Vektorfeld}{}{} $F$ ist die Zuordnung \maabbeledisp {} {T_PY} { T_PY } {v} { \nabla_v F } {,} \definitionsverweis {linear}{}{.} }{Zu einem fixierten Tangentialvektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ T_PY }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Zuordnung \maabbdisp {} {F} { \nabla_v F } {,} die einem differenzierbaren Vektorfeld die kovariante Ableitung längs $v$ zuordnet, linear. }{Zu einer differenzierbaren Funktion \maabb {g} {U} {\R } {} und einem differenzierbaren tangentialen Vektorfeld $F$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_v (gF) }
{ =} { g (P) ( \nabla_v F) (P) + { \left( D_{v} g \right) } { \left( P \right) } F(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\aufzaehlungdrei{Dies folgt unmittelbar aus der Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_v F }
{ =} { { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } - \left\langle { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } , N(P) \right\rangle N(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da die beiden Summanden linear in $v$ sind. }{Dies folgt auch aus der Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_v F }
{ =} { { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } - \left\langle { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } , N(P) \right\rangle N(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da bei fixiertem Vektor $v$ die beiden Summanden gemäß Lemma 43.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) linear von $F$ abhängen. }{Nach Lemma 45.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D( g F)\right)_{P} }
{ =} { g(P) \cdot \left(D F \right)_{P} + \left(Dg\right)_{P} \cdot F (P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \nabla_v (gF) }
{ =} { { \left( DgF \right) }_{P} { \left( v \right) } - \left\langle { \left( DgF \right) }_{P} { \left( v \right) } , N(P) \right\rangle N(P) }
{ =} { g(P) \cdot { \left( D F \right) }_{P} { \left( v \right) } + { \left( Dg \right) }_{P} { \left( v \right) } \cdot F (P) - \left\langle g(P) \cdot { \left( D F \right) }_{P} { \left( v \right) } + { \left( Dg \right) }_{P} { \left( v \right) } \cdot F (P) , N(P) \right\rangle N(P) }
{ =} { g(P) \cdot { \left( D F \right) }_{P} { \left( v \right) } - \left\langle g(P) \cdot { \left( D F \right) }_{P} { \left( v \right) } , N(P) \right\rangle N(P) + { \left( Dg \right) }_{P} { \left( v \right) } \cdot F (P) - \left\langle { \left( Dg \right) }_{P} { \left( v \right) } \cdot F (P) , N(P) \right\rangle N(P) }
{ =} {g (P) ( \nabla_v F) (P) + { \left( D_{v} g \right) } { \left( P \right) } \cdot F(P) }
} {} {}{,} da das Vektorfeld $F$ senkrecht auf $N$ steht. }

}





\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich tangentialem Vektorfeld/Kovariante Ableitung/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $W$ \definitionsverweis {offen}{}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten für tangentiale Vektorfelder auf $Y$ folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Zu einem fixierten differenzierbaren tangentialen Vektorfeld $F$ ist die Zuordnung
\mathl{G \mapsto \nabla_G F}{} \definitionsverweis {linear}{}{} in $G$. Ferner ist für eine stetige Funktion \maabb {g} {Y} {\R } {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_{gG} F }
{ =} { g \nabla_G F }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Zu einem fixierten tangentialen Vektorfeld $G$ ist die Zuordnung
\mathl{F \mapsto \nabla_G F}{,} die einem tangentialen differenzierbaren Vektorfeld die kovariante Ableitung längs $G$ zuordnet, linear. }{Zu einer differenzierbaren Funktion \maabb {g} {U} {\R } {} und einem differenzierbaren tangentialen Vektorfeld $F$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_G (gF) }
{ =} { g (P) ( \nabla_G F) (P) + (\nabla_G g )(P) F(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Alle Aussagen folgen aus Lemma 6.3.

}


In der letzten Gleichung bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \nabla_G g \right) } (P) }
{ =} { { \left( D_{G(P)} g \right) } { \left( P \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} es wird also von der Funktion $g$ die Richtungsableitung in Richtung $G(P)$ genommen.




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $W$ \definitionsverweis {offen}{}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{,} sei \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {Y } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} und sei \maabbdisp {F} { I } { \R^n } {} ein differenzierbares Vektorfeld längs $I$, das tangential an $Y$ sei. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\nabla_\gamma F) (t) }
{ \defeq} { \pi_{\gamma(t)} F' (t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die \definitionswort {kovariante Ableitung}{} von $F$ längs $\gamma$.

}

Man leitet also einfach das Vektorfeld $F$, das ja eine vektorwertige Kurve mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(t) }
{ \in }{ T_{\gamma(t)}Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, als Kurve im $\R^n$ ab und nimmt vom Ergebnis die orthogonale Projektion auf den Tangentialraum. Manchmal schreibt man auch $\nabla_{\gamma'} F$ oder $\nabla_{\partial} F$\zusatzfussnote {Zu Definition 6.2 und Definition 6.5 gibt es die folgende Verallgemeinerung. Es sei $Y$ die differenzierbare Hyperfläche \zusatzklammer {oder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang auf dem Tangentialbündel} {} {,} sei $Z$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, sei \maabb {\varphi} {Z} {Y } {} eine differenzierbare Abbildung, sei \maabbdisp {F} {Z} {TY = \biguplus_{P \in Y} T_PY } {} ein differenzierbares tangentiales Vektorfelder längs $\varphi$ und $G$ ein Vektorfeld auf $Z$. Dann ist \zusatzklammer {zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \in }{ Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ \varphi(Q) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} die kovariante Ableitung von $F$ bezüglich $G$ \zusatzklammer {längs $\varphi$} {} {} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \nabla_G F )(Q) }
{ =} { \pi_{ P } \left(DF\right)_{Q} (G(Q)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. $\nabla_GF$ ist wieder eine Abbildung \maabb {} {Z} {TY } {.} In der ersten Definition ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ = }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $\varphi$ die Identität, in der zweiten Definition ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ = }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Intervall,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ = }{ \gamma }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Weg und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ \partial }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das konstante Vektorfeld auf dem Intervall $I$ mit der Richtung $1$.} {} {.}






\zwischenueberschrift{Parallele Vektorfelder}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ W }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $W$ \definitionsverweis {offen}{}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{} und sei \maabb {\gamma} {I} {Y } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.} Man sagt, dass ein längs $\gamma$ definiertes differenzierbares tangentiales Vektorfeld \maabb {F} {I} {\R^n } {} \definitionswort {parallel längs}{} $\gamma$ ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\nabla_{\gamma} F)(t) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}

Ein Vektorfeld ist genau dann parallel längs $\gamma$, wenn
\mathl{F'(t)}{} stets senkrecht zum Tangentialraum
\mathl{T_{\gamma(t)}Y}{} ist, also zur Normalengerade gehört.


\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Kurve/Paralleles Vektorfeld/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ W }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $W$ \definitionsverweis {offen}{}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{} und sei \maabb {\gamma} {I} {Y } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Zu einem längs $\gamma$ \definitionsverweis {parallelen Vektorfeld}{}{} $F$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mathl{aF}{} ein paralleles Vektorfeld. } {Zu längs $\gamma$ parallelen Vektorfelder $F , G$ ist auch
\mathl{F +G}{} ein paralleles Vektorfeld. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 6.3. }


Zu einer differenzierbaren Kurve \maabbdisp {\gamma} {I} {Y } {} ist insbesondere das Geschwindigkeitsfeld $\gamma'$ ein Vektorfeld längs $\gamma$, daher ist das Konzept, ob dieses Feld parallel ist, anwendbar.





\inputfaktbeweis
{Differenzierbare Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Ableitung parallel/Geodätische/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ W }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $W$ \definitionsverweis {offen}{}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{} und sei \maabb {\gamma} {I} {Y } {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\gamma$ genau dann eine \definitionsverweis {geodätische Kurve}{}{,} wenn das Ableitungsfeld \zusatzklammer {Geschwindigkeitsfeld} {} {} $\gamma'$ ein \definitionsverweis {paralleles Vektorfeld}{}{} längs $\gamma$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei \maabbdisp {\gamma^{\prime \prime}} {I} { \R^n } {} die zweite Ableitung. Nach Definition ist $\gamma$ eine geodätische Kurve wenn
\mathl{\gamma^{\prime \prime} (t)}{} stets senkrecht auf dem Tangentialraum $T_{\gamma(t)} Y$ ist, was genau dann der Fall ist, wenn die orthogonale Projektion von $\gamma^{\prime \prime}(t)$ auf den Tangentialraum gleich $0$ ist. Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\nabla_\gamma \gamma')(t) }
{ =} { \pi_{\gamma(t)} { \left( \gamma^{\prime \prime} (t) \right) } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was bedeutet, dass $\gamma'$ ein \definitionsverweis {paralleles Vektorfeld}{}{} längs $\gamma$ ist.

}


Die folgende Aussage ist die Grundlage für die Existenz des Paralleltransportes.




\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Kurve/Anfangstangentenvektor/Paralleles Vektorfeld/Existenz/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $W$ \definitionsverweis {offen}{}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{} und sei \maabb {\gamma} {I} {Y } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t_0) }
{ = }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ T_PY }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Tangentialvektor}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes \definitionsverweis {tangentiales Vektorfeld}{}{} $F$ längs $\gamma$, das \definitionsverweis {parallel}{}{} ist und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(t_0) }
{ =} { v }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung \maabbdisp {F} {I} { \R^n } {,} das die Bedingungnen \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(t) }
{ \in} { T_{\gamma(t)} Y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F'(t) }
{ \in} { N_{\gamma(t)} Y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F (t_0) }
{ =} { v }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} } erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass $F(t)$ senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors $N (\gamma(t))$ steht, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle F( t) , N( \gamma(t)) \right\rangle }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0 }
{ =} { \left\langle F(t) , N( \gamma(t)) \right\rangle' }
{ =} { \left\langle F'(t) , N( \gamma(t)) \right\rangle + \left\langle F(t) , (N( \gamma(t)))' \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die zweite Bedingung, dass $F'(t)$ im Normalenraum liegt, bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F'(t) - \left\langle F'( t) , N( \gamma(t)) \right\rangle N(\gamma(t) ) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was wir mit Hilfe der vorstehenden Gleichung zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F'(t) + \left\langle F( t) , (N( \gamma(t)))' \right\rangle N(\gamma(t) ) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F'(t) }
{ =} { - \left\langle F( t) , (N( \gamma(t)))' \right\rangle N(\gamma(t) ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für $F$, die zusammen mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(t_0) }
{ = }{ v }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nach Satz 56.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) eine eindeutige Lösung besitzt. Es kann also höchstens eine Lösung der Ausgangsgleichung geben. Wenn $F$ die eindeutige Lösung der Differentialgleichung ist, so liegt in der Tat eine Lösung der Ausgangsgleichung vor.

}







\inputbemerkung
{}
{

In der Situation von Satz 6.9 ist die zu lösende Differentialgleichung das System
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_i'(t) }
{ =} { - { \left( \sum_{j = 1}^n F_j (t) (N ( \gamma(t)))'_j \right) } N(\gamma(t))_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ = }{ 1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder in Matrixschreibweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} F_1' \\ \vdots\\ F_n' \end{pmatrix} }
{ =} { - A \begin{pmatrix} F_1 \\ \vdots\\ F_n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit den Einträgen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_{ij} (t) }
{ =} { N(\gamma(t))_i N ( \gamma(t)))'_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten den Viertelgroßkreis \maabbeledisp {} {[0 , \pi/2] } { \R^3 } {t} { \left( \cos t , \, \sin t , \, 0 \right) } {,} auf der Einheitskugeloberfläche $S$. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0) }
{ = }{ \left( 1 , \, 0 , \, 0 \right) }
{ = }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(\pi/2) }
{ = }{ \left( 0 , \, 1 , \, 0 \right) }
{ = }{ Q }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit den \definitionsverweis {Tangentialräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_PS }
{ = }{ \R e_2 +\R e_3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_QS }
{ = }{ \R e_1 +\R e_3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Der nach innen zeigende Einheitsnormalenvektor längs des Weges ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N(t) }
{ = }{ -\gamma(t) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Matrix aus Bemerkung 6.10, die die Differentialgleichung für ein paralleles Vektorfeld beschreibt, ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} -\sin t \cos t & \cos t \cos t & 0 \\ - \sin t \sin t & \sin t \cos t & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Die konstante Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(t) }
{ =} { e_3 }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist eine Lösung. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(t) }
{ =} { \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Lösung, es ist ja einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G'(t) }
{ =} { \begin{pmatrix} - \cos t \\ - \sin t \\ 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und andererseits
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ - \begin{pmatrix} -\sin t \cos t & \cos t \cos t & 0 \\ - \sin t \sin t & \sin t \cos t & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix} }
{ =} { - \begin{pmatrix} \sin^{ 2 } t \cos t + \cos^{ 3 } t \\ \sin^{ 3 } t + \sin t \cos^{ 2 } t\\ 0 \end{pmatrix} }
{ =} { - \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}






\zwischenueberschrift{Paralleltransport}

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ W }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $W$ \definitionsverweis {offen}{}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{.} Zu Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es keine natürliche Beziehung zwischen dem \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} $T_PY$ und dem Tangentialraum $T_QY$. Es sei \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {Y } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} in $Y$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(a) }
{ = }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(b) }
{ = }{ Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Man kann sich fragen, ob es entlang dieses Weges eine sinnvolle Beziehung zwischen den Tangentialräumen gibt.

Zu einer fixierten differenzierbaren Kurve $\gamma$ in $Y$, die die Punkte \mathkor {} {P =\gamma(a)} {und} {Q = \gamma(b)} {} verbindet, ist durch Satz 6.9 eine Abbildung \maabbdisp {} {T_PY} {T_QY } {} festgelegt. Diese ordnet dem Anfangsvektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ T_PY }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(b) }
{ \in }{ T_QY }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu, wobei $F$ das eindeutig bestimmte parallele Vektorfeld längs $\gamma$ ist. Diese Abbildung heißt der \stichwort {Paralleltransport} {} längs $\gamma$. Sie wird mit \maabbdisp {\Psi_\gamma} { T_{\gamma(a)}Y} {T_{\gamma(b)}Y } {} bezeichnet.






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Parallel transport sphere2.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Parallel transport sphere2.svg } {} {Silly rabbit} {en Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}





\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Kurve/Paralleltransport/Isometrie/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ W }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $W$ \definitionsverweis {offen}{}{,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{} und sei \maabb {\gamma} {[a,b]} {Y } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(a) }
{ = }{P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(b) }
{ = }{ Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {Paralleltransport}{}{} längs $\gamma$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} \maabbdisp {} {T_PY} {T_QY } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Zum Nachweis der Linearität seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w }
{ \in }{ T_PY }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} and
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Es seien \mathkor {} {F} {bzw.} {G} {} die gemäß Satz 6.9 eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs $\gamma$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(a) }
{ = }{ v }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(a) }
{ = }{ w }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach Lemma 6.7 ist
\mathl{rF+sG}{} ein paralleles Vektorfeld mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (rF+sG)(a) }
{ = }{ v+ w }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen der Eindeutigkeit aus Satz 6.9 ist somit
\mathl{rF+sG}{} das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor
\mathl{rv+sw}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi_{\gamma} (rv+sw) }
{ =} { (rF+sG)(b) }
{ =} { r F(b) +s G(b) }
{ =} { r \Psi_{\gamma} (v) + s \Psi_{\gamma} (w) }
{ } { }
} {}{}{.}

Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w }
{ \in }{ T_PY }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben und es seien $F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle F(t) , G(t) \right\rangle' }
{ =} { \left\langle F'(t) , G(t) \right\rangle + \left\langle F(t) , G'(t) \right\rangle }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da $F,G$ tangential sind und $F',G'$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist
\mathl{\left\langle F(t) , G(t) \right\rangle}{} konstant längs des Weges. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \Psi_\gamma(v) , \Psi_\gamma(w) \right\rangle }
{ =} { \left\langle F(b) , G(b) \right\rangle }
{ =} { \left\langle F(a) , F(a) \right\rangle }
{ =} { \left\langle v , w \right\rangle }
{ } { }
} {}{}{.} Die Bijektivität ist damit auch klar.

}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten den Viertelgroßkreis \maabbeledisp {} {[0 , \pi/2] } { \R^3 } {t} { \left( \cos t , \, \sin t , \, 0 \right) } {,} auf der Einheitskugeloberfläche $S$ und knüpfen an Beispiel 6.11 an. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0) }
{ = }{ \left( 1 , \, 0 , \, 0 \right) }
{ = }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(\pi/2) }
{ = }{ \left( 0 , \, 1 , \, 0 \right) }
{ = }{ Q }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit den \definitionsverweis {Tangentialräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_PS }
{ = }{ \R e_2 +\R e_3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_QS }
{ = }{ \R e_1 +\R e_3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach den Berechnungen im angegebenen Beispiel gilt für den \definitionsverweis {Paralleltransport}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Psi_\gamma(e_3) }
{ = }{ e_3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Psi_\gamma(e_2) }
{ = }{ - e_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}


}

Wenn \maabbdisp {\gamma} {I} {Y } {} eine stetige, stückweise differenzierbare Kurve ist, so definiert man den Paralleltransport längs $\gamma$, indem man die einzelnen Paralleltransporte zu den differenzierbaren Kurvenstücken hintereinander ausführt.