Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Kovariante Ableitung}
Zu einer differenzierbaren Hyperfläche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
möchte man Ableitungskonzepte, die im umgebenden Raum $\R^n$ einfach definiert sind, mit einem natürlichen Bezug zu $Y$ definieren. Man spricht von kovarianter Ableitung, das wichtigste Hilfsmittel ist die orthogonale Projektion
\maabbdisp {\pi_P} {\R^n} {T_PY
} {}
zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$W$
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Tangentialvektor}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {F} { U} { \R^n
} {}
ein differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert sei und das auf $Y \cap U$ tangential an $Y$ sei. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_v F
}
{ \defeq} { \pi_P { \left( { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\maabbdisp {\pi_P} {\R^n} { T_PY
} {}
die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
bezeichnet, die
\definitionswort {kovariante Ableitung}{}
von $F$ in Richtung $v$.
}
Es liegt insgesamt die Situation
\mathdisp {T_PY \longrightarrow \R^n \stackrel{ \left(DF\right)_{P} }{\longrightarrow} \R^n\stackrel{ \pi_P }{\longrightarrow} T_PY} { }
vor und $\nabla_v F$ ist das Ergebnis, wenn man vorne den Tangentialvektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einsetzt. Wenn $N$ ein Einheitsnormalenfeld bezeichnet, so ist die kovariante Ableitung gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_v F
}
{ =} { { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } - \left\langle { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } , N(P) \right\rangle N(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da man ja so das orthogonale Komplement berechnet.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{W
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$W$
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{}
und sei
\maabbdisp {G} {Y} {TY
} {}
ein tangentiales Vektorfeld auf $Y$. Es sei
\maabbdisp {F} { U} { \R^n
} {}
ein differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert sei und das auf $Y \cap U$ tangential an $Y$ sei. Dann nennt man das tangentiale Vektorfeld
\maabbdisp {\nabla_G F} { Y \cap U } { T(Y \cap U)
} {,}
das durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \nabla_G F \right) } (P)
}
{ \defeq} { \nabla_{G(P)} F }
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist, die
\definitionswort {kovariante Ableitung}{}
von $F$ in Richtung $G$.
}
\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich Tangentenvektor/Kovariante Ableitung/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$W$
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Zu einem fixierten differenzierbaren
\definitionsverweis {tangentialen Vektorfeld}{}{}
$F$ ist die Zuordnung
\maabbeledisp {} {T_PY} { T_PY
} {v} { \nabla_v F
} {,}
\definitionsverweis {linear}{}{.}
}{Zu einem fixierten Tangentialvektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Zuordnung
\maabbdisp {} {F} { \nabla_v F
} {,}
die einem differenzierbaren Vektorfeld die kovariante Ableitung längs $v$ zuordnet, linear.
}{Zu einer differenzierbaren Funktion
\maabb {g} {U} {\R
} {}
und einem differenzierbaren tangentialen Vektorfeld $F$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_v (gF)
}
{ =} { g (P) ( \nabla_v F) (P) + { \left( D_{v} g \right) } { \left( P \right) } F(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungdrei{Dies folgt unmittelbar aus der Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_v F
}
{ =} { { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } - \left\langle { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } , N(P) \right\rangle N(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da die beiden Summanden linear in $v$ sind.
}{Dies folgt auch aus der Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_v F
}
{ =} { { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } - \left\langle { \left( DF \right) }_{P} { \left( v \right) } , N(P) \right\rangle N(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da bei fixiertem Vektor $v$ die beiden Summanden gemäß
Lemma 43.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
linear von $F$ abhängen.
}{Nach
Lemma 45.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D( g F)\right)_{P}
}
{ =} { g(P) \cdot \left(D F \right)_{P} + \left(Dg\right)_{P} \cdot F (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \nabla_v (gF)
}
{ =} { { \left( DgF \right) }_{P} { \left( v \right) } - \left\langle { \left( DgF \right) }_{P} { \left( v \right) } , N(P) \right\rangle N(P)
}
{ =} { g(P) \cdot { \left( D F \right) }_{P} { \left( v \right) } + { \left( Dg \right) }_{P} { \left( v \right) } \cdot F (P) - \left\langle g(P) \cdot { \left( D F \right) }_{P} { \left( v \right) } + { \left( Dg \right) }_{P} { \left( v \right) } \cdot F (P) , N(P) \right\rangle N(P)
}
{ =} { g(P) \cdot { \left( D F \right) }_{P} { \left( v \right) } - \left\langle g(P) \cdot { \left( D F \right) }_{P} { \left( v \right) } , N(P) \right\rangle N(P) + { \left( Dg \right) }_{P} { \left( v \right) } \cdot F (P) - \left\langle { \left( Dg \right) }_{P} { \left( v \right) } \cdot F (P) , N(P) \right\rangle N(P)
}
{ =} {g (P) ( \nabla_v F) (P) + { \left( D_{v} g \right) } { \left( P \right) } \cdot F(P)
}
}
{}
{}{,}
da das Vektorfeld $F$ senkrecht auf $N$ steht.
}
\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich tangentialem Vektorfeld/Kovariante Ableitung/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$W$
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten für tangentiale Vektorfelder auf $Y$ folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Zu einem fixierten differenzierbaren tangentialen Vektorfeld $F$ ist die Zuordnung
\mathl{G \mapsto \nabla_G F}{}
\definitionsverweis {linear}{}{}
in $G$. Ferner ist für eine stetige Funktion
\maabb {g} {Y} {\R
} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_{gG} F
}
{ =} { g \nabla_G F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zu einem fixierten tangentialen Vektorfeld $G$ ist die Zuordnung
\mathl{F \mapsto \nabla_G F}{,} die einem tangentialen differenzierbaren Vektorfeld die kovariante Ableitung längs $G$ zuordnet, linear.
}{Zu einer differenzierbaren Funktion
\maabb {g} {U} {\R
} {}
und einem differenzierbaren tangentialen Vektorfeld $F$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nabla_G (gF)
}
{ =} { g (P) ( \nabla_G F) (P) + (\nabla_G g )(P) F(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Alle Aussagen folgen aus Lemma 6.3.
In der letzten Gleichung bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \nabla_G g \right) } (P)
}
{ =} { { \left( D_{G(P)} g \right) } { \left( P \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es wird also von der Funktion $g$ die Richtungsableitung in Richtung $G(P)$ genommen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,} $W$
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{,}
sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{}
und sei
\maabbdisp {F} { I } { \R^n
} {}
ein differenzierbares Vektorfeld längs $I$, das tangential an $Y$ sei. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\nabla_\gamma F) (t)
}
{ \defeq} { \pi_{\gamma(t)} F' (t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die
\definitionswort {kovariante Ableitung}{}
von $F$ längs $\gamma$.
}
Man leitet also einfach das Vektorfeld $F$, das ja eine vektorwertige Kurve mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(t)
}
{ \in }{ T_{\gamma(t)}Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, als Kurve im $\R^n$ ab und nimmt vom Ergebnis die orthogonale Projektion auf den Tangentialraum. Manchmal schreibt man auch $\nabla_{\gamma'} F$ oder $\nabla_{\partial} F$\zusatzfussnote {Zu
Definition 6.2
und
Definition 6.5
gibt es die folgende Verallgemeinerung. Es sei $Y$ die differenzierbare Hyperfläche
\zusatzklammer {oder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang auf dem Tangentialbündel} {} {,}
sei $Z$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, sei
\maabb {\varphi} {Z} {Y
} {}
eine differenzierbare Abbildung, sei
\maabbdisp {F} {Z} {TY = \biguplus_{P \in Y} T_PY
} {}
ein differenzierbares tangentiales Vektorfelder längs $\varphi$ und $G$ ein Vektorfeld auf $Z$. Dann ist
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ \varphi(Q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
die kovariante Ableitung von $F$ bezüglich $G$
\zusatzklammer {längs $\varphi$} {} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \nabla_G F )(Q)
}
{ =} { \pi_{ P } \left(DF\right)_{Q} (G(Q))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. $\nabla_GF$ ist wieder eine Abbildung
\maabb {} {Z} {TY
} {.}
In der ersten Definition ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ = }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\varphi$ die Identität, in der zweiten Definition ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ = }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Intervall,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Weg und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \partial
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das konstante Vektorfeld auf dem Intervall $I$ mit der Richtung $1$.} {} {.}
\zwischenueberschrift{Parallele Vektorfelder}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ W
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$W$
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{}
und sei
\maabb {\gamma} {I} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.}
Man sagt, dass ein längs $\gamma$ definiertes differenzierbares tangentiales Vektorfeld
\maabb {F} {I} {\R^n
} {}
\definitionswort {parallel längs}{}
$\gamma$ ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\nabla_{\gamma} F)(t)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Ein Vektorfeld ist genau dann parallel längs $\gamma$, wenn
\mathl{F'(t)}{} stets senkrecht zum Tangentialraum
\mathl{T_{\gamma(t)}Y}{} ist, also zur Normalengerade gehört.
{Hyperfläche/Kurve/Paralleles Vektorfeld/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ W
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$W$
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{}
und sei
\maabb {\gamma} {I} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Zu einem längs $\gamma$
\definitionsverweis {parallelen Vektorfeld}{}{}
$F$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mathl{aF}{} ein paralleles Vektorfeld.
} {Zu längs $\gamma$ parallelen Vektorfelder
$F , G$ ist auch
\mathl{F +G}{} ein paralleles Vektorfeld.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 6.3. }
Zu einer differenzierbaren Kurve
\maabbdisp {\gamma} {I} {Y
} {}
ist insbesondere das Geschwindigkeitsfeld $\gamma'$ ein Vektorfeld längs $\gamma$, daher ist das Konzept, ob dieses Feld parallel ist, anwendbar.
\inputfaktbeweis
{Differenzierbare Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Ableitung parallel/Geodätische/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ W
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$W$
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{}
und sei
\maabb {\gamma} {I} {Y
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\gamma$ genau dann eine
\definitionsverweis {geodätische Kurve}{}{,}
wenn das Ableitungsfeld
\zusatzklammer {Geschwindigkeitsfeld} {} {} $\gamma'$ ein
\definitionsverweis {paralleles Vektorfeld}{}{}
längs $\gamma$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\maabbdisp {\gamma^{\prime \prime}} {I} { \R^n
} {}
die zweite Ableitung. Nach Definition ist $\gamma$ eine geodätische Kurve wenn
\mathl{\gamma^{\prime \prime} (t)}{} stets senkrecht auf dem Tangentialraum $T_{\gamma(t)} Y$ ist, was genau dann der Fall ist, wenn die orthogonale Projektion von $\gamma^{\prime \prime}(t)$ auf den Tangentialraum gleich $0$ ist. Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\nabla_\gamma \gamma')(t)
}
{ =} { \pi_{\gamma(t)} { \left( \gamma^{\prime \prime} (t) \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was bedeutet, dass $\gamma'$ ein
\definitionsverweis {paralleles Vektorfeld}{}{}
längs $\gamma$ ist.
Die folgende Aussage ist die Grundlage für die Existenz des Paralleltransportes.
\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Kurve/Anfangstangentenvektor/Paralleles Vektorfeld/Existenz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$W$
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{}
und sei
\maabb {\gamma} {I} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t_0)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Tangentialvektor}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes
\definitionsverweis {tangentiales Vektorfeld}{}{}
$F$ längs $\gamma$, das
\definitionsverweis {parallel}{}{}
ist und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(t_0)
}
{ =} { v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung
\maabbdisp {F} {I} { \R^n
} {,}
das die Bedingungnen
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(t)
}
{ \in} { T_{\gamma(t)} Y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F'(t)
}
{ \in} { N_{\gamma(t)} Y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F (t_0)
}
{ =} { v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass $F(t)$ senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors $N (\gamma(t))$ steht, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle F( t) , N( \gamma(t)) \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { \left\langle F(t) , N( \gamma(t)) \right\rangle'
}
{ =} { \left\langle F'(t) , N( \gamma(t)) \right\rangle + \left\langle F(t) , (N( \gamma(t)))' \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die zweite Bedingung, dass $F'(t)$ im Normalenraum liegt, bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F'(t) - \left\langle F'( t) , N( \gamma(t)) \right\rangle N(\gamma(t) )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was wir mit Hilfe der vorstehenden Gleichung zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F'(t) + \left\langle F( t) , (N( \gamma(t)))' \right\rangle N(\gamma(t) )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F'(t)
}
{ =} { - \left\langle F( t) , (N( \gamma(t)))' \right\rangle N(\gamma(t) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für $F$, die zusammen mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(t_0)
}
{ = }{ v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Satz 56.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
eine eindeutige Lösung besitzt. Es kann also höchstens eine Lösung der Ausgangsgleichung geben. Wenn $F$ die eindeutige Lösung der Differentialgleichung ist, so liegt in der Tat eine Lösung der Ausgangsgleichung vor.
\inputbemerkung
{}
{
In der Situation von
Satz 6.9
ist die zu lösende Differentialgleichung das System
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_i'(t)
}
{ =} { - { \left( \sum_{j = 1}^n F_j (t) (N ( \gamma(t)))'_j \right) } N(\gamma(t))_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder in Matrixschreibweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} F_1' \\ \vdots\\ F_n' \end{pmatrix}
}
{ =} { - A \begin{pmatrix} F_1 \\ \vdots\\ F_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Einträgen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_{ij} (t)
}
{ =} { N(\gamma(t))_i N ( \gamma(t)))'_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den Viertelgroßkreis
\maabbeledisp {} {[0 , \pi/2] } { \R^3
} {t} { \left( \cos t , \, \sin t , \, 0 \right)
} {,}
auf der Einheitskugeloberfläche $S$. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0)
}
{ = }{ \left( 1 , \, 0 , \, 0 \right)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(\pi/2)
}
{ = }{ \left( 0 , \, 1 , \, 0 \right)
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Tangentialräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_PS
}
{ = }{ \R e_2 +\R e_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_QS
}
{ = }{ \R e_1 +\R e_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der nach innen zeigende Einheitsnormalenvektor längs des Weges ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N(t)
}
{ = }{ -\gamma(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Matrix aus
Bemerkung 6.10,
die die Differentialgleichung für ein paralleles Vektorfeld beschreibt, ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} -\sin t \cos t & \cos t \cos t & 0 \\ - \sin t \sin t & \sin t \cos t & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Die konstante Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(t)
}
{ =} { e_3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist eine Lösung. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Lösung, es ist ja einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G'(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} - \cos t \\ - \sin t \\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ - \begin{pmatrix} -\sin t \cos t & \cos t \cos t & 0 \\ - \sin t \sin t & \sin t \cos t & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { - \begin{pmatrix} \sin^{ 2 } t \cos t + \cos^{ 3 } t \\ \sin^{ 3 } t + \sin t \cos^{ 2 } t\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { - \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Paralleltransport}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ W
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$W$
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{.}
Zu Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es keine natürliche Beziehung zwischen dem
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
$T_PY$ und dem Tangentialraum $T_QY$. Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{}
in $Y$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(a)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(b)
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man kann sich fragen, ob es entlang dieses Weges eine sinnvolle Beziehung zwischen den Tangentialräumen gibt.
Zu einer fixierten differenzierbaren Kurve $\gamma$ in $Y$, die die Punkte
\mathkor {} {P =\gamma(a)} {und} {Q = \gamma(b)} {}
verbindet, ist durch
Satz 6.9
eine Abbildung
\maabbdisp {} {T_PY} {T_QY
} {}
festgelegt. Diese ordnet dem Anfangsvektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(b)
}
{ \in }{ T_QY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu, wobei $F$ das eindeutig bestimmte parallele Vektorfeld längs $\gamma$ ist. Diese Abbildung heißt der \stichwort {Paralleltransport} {} längs $\gamma$. Sie wird mit
\maabbdisp {\Psi_\gamma} { T_{\gamma(a)}Y} {T_{\gamma(b)}Y
} {}
bezeichnet.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Parallel transport sphere2.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Parallel transport sphere2.svg } {} {Silly rabbit} {en Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Kurve/Paralleltransport/Isometrie/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ W
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$W$
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{}
und sei
\maabb {\gamma} {[a,b]} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(a)
}
{ = }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(b)
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Paralleltransport}{}{}
längs $\gamma$ eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
\maabbdisp {} {T_PY} {T_QY
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zum Nachweis der Linearität seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
and
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Es seien
\mathkor {} {F} {bzw.} {G} {}
die gemäß
Satz 6.9
eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs $\gamma$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(a)
}
{ = }{ v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(a)
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 6.7
ist
\mathl{rF+sG}{} ein paralleles Vektorfeld mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (rF+sG)(a)
}
{ = }{ v+ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Eindeutigkeit aus
Satz 6.9
ist somit
\mathl{rF+sG}{} das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor
\mathl{rv+sw}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi_{\gamma} (rv+sw)
}
{ =} { (rF+sG)(b)
}
{ =} { r F(b) +s G(b)
}
{ =} { r \Psi_{\gamma} (v) + s \Psi_{\gamma} (w)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben und es seien $F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle F(t) , G(t) \right\rangle'
}
{ =} { \left\langle F'(t) , G(t) \right\rangle + \left\langle F(t) , G'(t) \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da $F,G$ tangential sind und $F',G'$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist
\mathl{\left\langle F(t) , G(t) \right\rangle}{} konstant längs des Weges. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \Psi_\gamma(v) , \Psi_\gamma(w) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle F(b) , G(b) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle F(a) , F(a) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , w \right\rangle
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Bijektivität ist damit auch klar.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den Viertelgroßkreis
\maabbeledisp {} {[0 , \pi/2] } { \R^3
} {t} { \left( \cos t , \, \sin t , \, 0 \right)
} {,}
auf der Einheitskugeloberfläche $S$ und knüpfen an
Beispiel 6.11
an. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0)
}
{ = }{ \left( 1 , \, 0 , \, 0 \right)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(\pi/2)
}
{ = }{ \left( 0 , \, 1 , \, 0 \right)
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Tangentialräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_PS
}
{ = }{ \R e_2 +\R e_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_QS
}
{ = }{ \R e_1 +\R e_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach den Berechnungen im angegebenen Beispiel gilt für den
\definitionsverweis {Paralleltransport}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Psi_\gamma(e_3)
}
{ = }{ e_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Psi_\gamma(e_2)
}
{ = }{ - e_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Wenn \maabbdisp {\gamma} {I} {Y } {} eine stetige, stückweise differenzierbare Kurve ist, so definiert man den Paralleltransport längs $\gamma$, indem man die einzelnen Paralleltransporte zu den differenzierbaren Kurvenstücken hintereinander ausführt.