Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 6

Kovariante Ableitung

Zu einer differenzierbaren Hyperfläche ${}Y=\mathbb {R} ^{n}$ möchte man Ableitungskonzepte, die im umgebenden Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ einfach definiert sind, mit einem natürlichen Bezug zu ${}Y$ definieren. Man spricht von kovarianter Ableitung, das wichtigste Hilfsmittel ist die orthogonale Projektion

$\pi _{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$

zu einem Punkt ${}P\in Y$.

Definition

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei ${}P\in Y$ ein Punkt und ${}v\in T_{P}Y$ ein Tangentialvektor. Es sei

$F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung ${}P\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiert sei und das auf ${}Y\cap U$ tangential an ${}Y$ sei. Dann nennt man

${}\nabla _{v}F:=\pi _{P}{\left({\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}\right)}\,,$

wobei

$\pi _{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$

die orthogonale Projektion bezeichnet, die kovariante Ableitung von ${}F$ in Richtung ${}v$.

Es liegt insgesamt die Situation

$T_{P}Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}{\stackrel {\left(DF\right)_{P}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{n}{\stackrel {\pi _{P}}{\longrightarrow }}T_{P}Y$

vor und ${}\nabla _{v}F$ ist das Ergebnis, wenn man vorne den Tangentialvektor ${}v\in T_{P}Y$ einsetzt. Wenn ${}N$ ein Einheitsnormalenfeld bezeichnet, so ist die kovariante Ableitung gleich

${}\nabla _{v}F={\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\,,$

da man ja so das orthogonale Komplement berechnet.

Definition

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei

$G\colon Y\longrightarrow TY$

ein tangentiales Vektorfeld auf ${}Y$. Es sei

$F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung ${}P\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiert sei und das auf ${}Y\cap U$ tangential an ${}Y$ sei. Dann nennt man das tangentiale Vektorfeld

$\nabla _{G}F\colon Y\cap U\longrightarrow T(Y\cap U),$

das durch

${}{\left(\nabla _{G}F\right)}(P):=\nabla _{G(P)}F\,$

definiert ist, die kovariante Ableitung von ${}F$ in Richtung ${}G$.

Lemma

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei ${}P\in Y$ ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem fixierten differenzierbaren tangentialen Vektorfeld ${}F$ ist die Zuordnung

   $T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$

   linear.

2. Zu einem fixierten Tangentialvektor ${}v\in T_{P}Y$ ist die Zuordnung

   $F\longrightarrow \nabla _{v}F,$

   die einem differenzierbaren Vektorfeld die kovariante Ableitung längs ${}v$ zuordnet, linear.

3. Zu einer differenzierbaren Funktion ${}g\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ und einem differenzierbaren tangentialen Vektorfeld ${}F$ ist

   ${}\nabla _{v}(gF)=g(P)(\nabla _{v}F)(P)+{\left(D_{v}g\right)}{\left(P\right)}F(P)\,.$

Beweis

1. Dies folgt unmittelbar aus der Beschreibung

   ${}\nabla _{v}F={\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\,,$

   da die beiden Summanden linear in ${}v$ sind.

2. Dies folgt auch aus der Beschreibung

   ${}\nabla _{v}F={\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\,,$

   da bei fixiertem Vektor ${}v$ die beiden Summanden gemäß Lemma 43.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) linear von ${}F$ abhängen.

3. Nach Lemma 45.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist

   ${}\left(D(gF)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(DF\right)_{P}+\left(Dg\right)_{P}\cdot F(P)\,.$

   Daher ist

   ${}{\begin{aligned}\nabla _{v}(gF)&={\left(DgF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DgF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\\&=g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}+{\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P)-\left\langle g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}+{\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P),N(P)\right\rangle N(P)\\&=g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)+{\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P)-\left\langle {\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P),N(P)\right\rangle N(P)\\&=g(P)(\nabla _{v}F)(P)+{\left(D_{v}g\right)}{\left(P\right)}\cdot F(P),\end{aligned}}$

   da das Vektorfeld ${}F$ senkrecht auf ${}N$ steht.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche. Dann gelten für tangentiale Vektorfelder auf ${}Y$ folgende Aussagen.

1. Zu einem fixierten differenzierbaren tangentialen Vektorfeld ${}F$ ist die Zuordnung ${}G\mapsto \nabla _{G}F$ linear in ${}G$. Ferner ist für eine stetige Funktion ${}g\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$

   ${}\nabla _{gG}F=g\nabla _{G}F\,.$

2. Zu einem fixierten tangentialen Vektorfeld ${}G$ ist die Zuordnung ${}F\mapsto \nabla _{G}F$, die einem tangentialen differenzierbaren Vektorfeld die kovariante Ableitung längs ${}G$ zuordnet, linear.
3. Zu einer differenzierbaren Funktion ${}g\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ und einem differenzierbaren tangentialen Vektorfeld ${}F$ ist

   ${}\nabla _{G}(gF)=g(P)(\nabla _{G}F)(P)+(\nabla _{G}g)(P)F(P)\,.$

Beweis

Alle Aussagen folgen aus Lemma 6.3.

$\Box$

In der letzten Gleichung bedeutet

${}{\left(\nabla _{G}g\right)}(P)={\left(D_{G(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,,$

es wird also von der Funktion ${}g$ die Richtungsableitung in Richtung ${}G(P)$ genommen.

Definition

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow Y$

eine differenzierbare Kurve und sei

$F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein differenzierbares Vektorfeld längs ${}I$, das tangential an ${}Y$ sei. Dann nennt man

${}(\nabla _{\gamma }F)(t):=\pi _{\gamma (t)}F'(t)\,,$

die kovariante Ableitung von ${}F$ längs ${}\gamma$.

Man leitet also einfach das Vektorfeld ${}F$, das ja eine vektorwertige Kurve mit ${}F(t)\in T_{\gamma (t)}Y$ ist, als Kurve im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ab und nimmt vom Ergebnis die orthogonale Projektion auf den Tangentialraum. Manchmal schreibt man auch ${}\nabla _{\gamma '}F$ oder ${}\nabla _{\partial }F$.

Parallele Vektorfelder

Definition

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Man sagt, dass ein längs ${}\gamma$ definiertes differenzierbares tangentiales Vektorfeld ${}F\colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ parallel längs ${}\gamma$ ist, wenn

${}(\nabla _{\gamma }F)(t)=0\,$

für alle ${}t\in I$ gilt.

Ein Vektorfeld ist genau dann parallel längs ${}\gamma$, wenn ${}F'(t)$ stets senkrecht zum Tangentialraum ${}T_{\gamma (t)}Y$ ist, also zur Normalengerade gehört.

Lemma

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem längs ${}\gamma$ parallelen Vektorfeld ${}F$ und ${}a\in \mathbb {R}$ ist auch ${}aF$ ein paralleles Vektorfeld.
2. Zu längs ${}\gamma$ parallelen Vektorfelder ${}F,G$ ist auch ${}F+G$ ein paralleles Vektorfeld.

Beweis

Siehe Aufgabe 6.3.

$\Box$

Zu einer differenzierbaren Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow Y$

ist insbesondere das Geschwindigkeitsfeld ${}\gamma '$ ein Vektorfeld längs ${}\gamma$, daher ist das Konzept, ob dieses Feld parallel ist, anwendbar.

Lemma

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine zweimal stetig differenzierbare Kurve.

Dann ist ${}\gamma$ genau dann eine geodätische Kurve, wenn das Ableitungsfeld (Geschwindigkeitsfeld) ${}\gamma '$ ein paralleles Vektorfeld längs ${}\gamma$ ist.

Beweis

Es sei

$\gamma ^{\prime \prime }\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

die zweite Ableitung. Nach Definition ist ${}\gamma$ eine geodätische Kurve wenn ${}\gamma ^{\prime \prime }(t)$ stets senkrecht auf dem Tangentialraum ${}T_{\gamma (t)}Y$ ist, was genau dann der Fall ist, wenn die orthogonale Projektion von ${}\gamma ^{\prime \prime }(t)$ auf den Tangentialraum gleich ${}0$ ist. Dies ist äquivalent zu

${}(\nabla _{\gamma }\gamma ')(t)=\pi _{\gamma (t)}{\left(\gamma ^{\prime \prime }(t)\right)}=0\,$

für alle ${}t\in I$, was bedeutet, dass ${}\gamma '$ ein paralleles Vektorfeld längs ${}\gamma$ ist.

$\Box$

Die folgende Aussage ist die Grundlage für die Existenz des Paralleltransportes.

Satz

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Es sei ${}t_{0}\in I$, ${}\gamma (t_{0})=P$ und sei ${}v\in T_{P}Y$ ein Tangentialvektor.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes tangentiales Vektorfeld ${}F$ längs ${}\gamma$, das parallel ist und

${}F(t_{0})=v\,$

erfüllt.

Beweis

Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung

$F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$

das die Bedingungnen

1. ${}F(t)\in T_{\gamma (t)}Y\,$

   für alle ${}t\in I$,

2. ${}F'(t)\in N_{\gamma (t)}Y\,$

   für alle ${}t\in I$,

3. ${}F(t_{0})=v\,$

erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass ${}F(t)$ senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors ${}N(\gamma (t))$ steht, also

${}\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle =0\,.$

Daher ist auch

${}0=\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle '=\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle +\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle \,.$

Die zweite Bedingung, dass ${}F'(t)$ im Normalenraum liegt, bedeutet

${}F'(t)-\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle N(\gamma (t))=0\,$

für alle ${}t\in I$, was wir mit Hilfe der vorstehenden Gleichung zu

${}F'(t)+\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))=0\,$

für alle ${}t\in I$ bzw. zu

${}F'(t)=-\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))\,$

für alle ${}t\in I$ umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für ${}F$, die zusammen mit der Anfangsbedingung ${}F(t_{0})=v$ nach Satz 56.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) eine eindeutige Lösung besitzt. Es kann also höchstens eine Lösung der Ausgangsgleichung geben. Wenn ${}F$ die eindeutige Lösung der Differentialgleichung ist, so liegt in der Tat eine Lösung der Ausgangsgleichung vor.

$\Box$

Bemerkung  

In der Situation von Satz 6.9 ist die zu lösende Differentialgleichung das System

${}F_{i}'(t)=-{\left(\sum _{j=1}^{n}F_{j}(t)(N(\gamma (t)))'_{j}\right)}N(\gamma (t))_{i}\,$

für ${}i=1,\ldots ,n$ oder in Matrixschreibweise

${}{\begin{pmatrix}F_{1}'\\\vdots \\F_{n}'\end{pmatrix}}=-A{\begin{pmatrix}F_{1}\\\vdots \\F_{n}\end{pmatrix}}\,$

mit den Einträgen

${}A_{ij}(t)=N(\gamma (t))_{i}N(\gamma (t)))'_{j}\,.$

Beispiel

Wir betrachten den Viertelgroßkreis

$[0,\pi /2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,0\right),$

auf der Einheitskugeloberfläche ${}S$. Es ist ${}\gamma (0)=\left(1,\,0,\,0\right)=P$ und ${}\gamma (\pi /2)=\left(0,\,1,\,0\right)=Q$ mit den Tangentialräumen ${}T_{P}S=\mathbb {R} e_{2}+\mathbb {R} e_{3}$ und ${}T_{Q}S=\mathbb {R} e_{1}+\mathbb {R} e_{3}$. Der nach innen zeigende Einheitsnormalenvektor längs des Weges ist ${}N(t)=-\gamma (t)$. Die Matrix aus Bemerkung 6.10, die die Differentialgleichung für ein paralleles Vektorfeld beschreibt, ist

${\begin{pmatrix}-\sin t\cos t&\cos t\cos t&0\\-\sin t\sin t&\sin t\cos t&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

Die konstante Funktion

${}F(t)=e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,$

ist eine Lösung. Ferner ist

${}G(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}\,$

eine Lösung, es ist ja einerseits

${}G'(t)={\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\\0\end{pmatrix}}\,$

und andererseits

$-{\begin{pmatrix}-\sin t\cos t&\cos t\cos t&0\\-\sin t\sin t&\sin t\cos t&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\sin ^{2}t\cos t+\cos ^{3}t\\\sin ^{3}t+\sin t\cos ^{2}t\\0\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}\,.$

Paralleltransport

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche. Zu Punkten ${}P,Q\in Y$ gibt es keine natürliche Beziehung zwischen dem Tangentialraum ${}T_{P}Y$ und dem Tangentialraum ${}T_{Q}Y$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow Y$

eine differenzierbare Kurve in ${}Y$ mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$. Man kann sich fragen, ob es entlang dieses Weges eine sinnvolle Beziehung zwischen den Tangentialräumen gibt.

Zu einer fixierten differenzierbaren Kurve ${}\gamma$ in ${}Y$, die die Punkte ${}P=\gamma (a)$ und ${}Q=\gamma (b)$ verbindet, ist durch Satz 6.9 eine Abbildung

$T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y$

festgelegt. Diese ordnet dem Anfangsvektor ${}v\in T_{P}Y$ den Vektor ${}F(b)\in T_{Q}Y$ zu, wobei ${}F$ das eindeutig bestimmte parallele Vektorfeld längs ${}\gamma$ ist. Diese Abbildung heißt der Paralleltransport längs ${}\gamma$. Sie wird mit

$\Psi _{\gamma }\colon T_{\gamma (a)}Y\longrightarrow T_{\gamma (b)}Y$

bezeichnet.

Satz

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$.

Dann ist der Paralleltransport längs ${}\gamma$ eine Isometrie

$T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y.$

Beweis

Zum Nachweis der Linearität seien ${}v,w\in T_{P}Y$ and ${}r,s\in \mathbb {R}$ gegeben. Es seien ${}F$ bzw. ${}G$ die gemäß Satz 6.9 eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs ${}\gamma$ mit ${}F(a)=v$ und ${}G(a)=w$. Nach Lemma 6.7 ist ${}rF+sG$ ein paralleles Vektorfeld mit ${}(rF+sG)(a)=v+w$. Wegen der Eindeutigkeit aus Satz 6.9 ist somit ${}rF+sG$ das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor ${}rv+sw$. Daher ist

${}\Psi _{\gamma }(rv+sw)=(rF+sG)(b)=rF(b)+sG(b)=r\Psi _{\gamma }(v)+s\Psi _{\gamma }(w)\,.$

Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder ${}v,w\in T_{P}Y$ gegeben und es seien ${}F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist

${}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle '=\left\langle F'(t),G(t)\right\rangle +\left\langle F(t),G'(t)\right\rangle =0\,,$

da ${}F,G$ tangential sind und ${}F',G'$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist ${}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle$ konstant längs des Weges. Daher ist

${}\left\langle \Psi _{\gamma }(v),\Psi _{\gamma }(w)\right\rangle =\left\langle F(b),G(b)\right\rangle =\left\langle F(a),F(a)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

Die Bijektivität ist damit auch klar.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten den Viertelgroßkreis

$[0,\pi /2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,0\right),$

auf der Einheitskugeloberfläche ${}S$ und knüpfen an Beispiel 6.11 an. Es ist ${}\gamma (0)=\left(1,\,0,\,0\right)=P$ und ${}\gamma (\pi /2)=\left(0,\,1,\,0\right)=Q$ mit den Tangentialräumen ${}T_{P}S=\mathbb {R} e_{2}+\mathbb {R} e_{3}$ und ${}T_{Q}S=\mathbb {R} e_{1}+\mathbb {R} e_{3}$. Nach den Berechnungen im angegebenen Beispiel gilt für den Paralleltransport ${}\Psi _{\gamma }(e_{3})=e_{3}$ und ${}\Psi _{\gamma }(e_{2})=-e_{1}$.

Wenn

$\gamma \colon I\longrightarrow Y$

eine stetige, stückweise differenzierbare Kurve ist, so definiert man den Paralleltransport längs ${}\gamma$, indem man die einzelnen Paralleltransporte zu den differenzierbaren Kurvenstücken hintereinander ausführt.

Fußnoten

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