Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 18
- Aufwärmaufgaben
Bestimme in die Primfaktorzerlegung des Polynoms . Man beschreibe ferner die Produktzerlegung des Restklassenrings .
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8bdde635282ec50a63e49841f92aae18e2bfd0)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)[X]/(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac55cd58f4fba5724b11e1655a27a7c253c53557)
Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .
![{\displaystyle {}F_{2}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1ceee1b6c47f102871e003b0b973aa197e5c8f)
Es sei ein kommutativer Ring und , . Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.
Hinweis: Der Zwischenwertsatz hilft.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien verschiedene Elemente und
![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring isomorph zum Produktring ist.
![{\displaystyle {}K[X]/(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80970de3035f9661e9a631c54c6305542d07726)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und seien zwei Polynome. Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein Teiler von in genau dann ist, wenn ein Teiler von in ist.
![{\displaystyle {}F,G\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2554b15433a4f1cc8f6ec612b0369190dbb2bf)
![{\displaystyle {}L[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5815a5136aa33922f4b4abca07494764a41de7)
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass in einem faktoriellen Bereich der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Elementen existieren.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein faktorieller Bereich und ein Primelement. Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme in die Primfaktorzerlegung des Polynoms . Man beschreibe ferner die Produktzerlegung des Restklassenrings .
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8417bf0026e1cf0d3d1f733285575b7a0ef7181)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)[X]/(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99c776c26e1793ab4095cd92d79de4dfe4ea4b1)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein quadratisches irreduzibles Polynom. Zeige, dass der Restklassenkörper isomorph zu ist.
![{\displaystyle {}Q\in \mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2aac883d119c1466b7f447471e9c83b6d44eb3)
![{\displaystyle {}\mathbb {R} [X]/(Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4777c167c0196d8794ea2311c174382d3c94bda0)
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in gibt.
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .
![{\displaystyle {}F_{3}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d9f3b721645b99685183afff96525fc670215f)
In der folgenden Aufgabe sind die Eigenschaften prim und irreduzibel in einem Monoid zu verstehen, ohne dass ein Ring vorliegt.
Aufgabe (4 Punkte)
Betrachte die Menge , die aus allen positiven natürlichen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung (in ) eine gerade Anzahl (mit Vielfachheiten gezählt) von Primfaktoren vorkommt. Zeige, dass ein multiplikatives Untermonoid ist. Man charakterisiere die irreduziblen Elemente und die Primelemente in .
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien ein kommutativer Ring und Ideale in . Es sei weiter
Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn gilt. Wie sieht aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.
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