Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 19

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern ${}\mathbb {Z} /(2)$, ${}\mathbb {Z} /(3)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$, ${}\mathbb {Z} /(7)$ und ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe

Es seien ${}n_{1},\ldots ,n_{k}$ positive natürliche Zahlen und es sei

$G=\mathbb {Z} /(n_{1})\times \mathbb {Z} /(n_{2})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{k})$

die Produktgruppe. Bestimme den Exponenten von ${}G$.

Aufgabe

Konstruiere einen Körper ${}{\mathbb {F} }_{9}$ mit ${}9$ Elementen.

Aufgabe

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{9}$ für jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} /(3)[Z]/(Z^{2}+1)$ der Körper mit ${}9$ Elementen (${}z$ bezeichne die Restklasse von ${}Z$). Führe in ${}\mathbb {F} _{9}[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{3}+zX^{2}+1+z$ und ${}T=zX^{2}+(z+2)X+2$ durch.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:

1. ${}K$ ist algebraisch abgeschlossen.
2. Jedes nicht-konstante Polynom ${}F\in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass ${}K$ nicht endlich sein kann.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern ${}\mathbb {Z} /(13)$, ${}\mathbb {Z} /(17)$ und ${}\mathbb {Z} /(19)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${}k$ und ${}n$ mit ${}k\,{|}\,n$ der kanonische Homomorphismus

${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(k)\right)}^{\times }$

surjektiv ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Konstruiere zu einer Primzahl ${}p$ einen Körper mit ${}p^{2}$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}F$ ein Körper mit ${}p^{2}$ Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen ${}\mathbb {Z} /(p^{2})$ und ${}F$ gibt es? Man betrachte beide Richtungen.

Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit ${}4,8,9,16,25,27,32$ und ${}49$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} /(3)[Z]/(Z^{2}+1)$ der Körper mit ${}9$ Elementen (${}z$ bezeichne die Restklasse von ${}Z$). Führe in ${}\mathbb {F} _{9}[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{4}+(1+2z)X^{3}+zX^{2}+2X+2+z$ und ${}T=(z+1)X^{2}+zX+2$ durch.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit ${}25$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?