Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 10/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 10.1 ändern

Beweise Lemma 10.6.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Potenzieren

$G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x^{n},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung

$G\longrightarrow G,\,x\longmapsto -x,$

ein Gruppenisomorphismus ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}h\in R$. Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto hf,$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

a) Für welche reellen Polynome ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ist die zugehörige polynomiale Abbildung

$(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto P(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

b) Für welche reellen Polynome ${}Q\in \mathbb {R} [X]$ ist allenfalls ${}0$ eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung

$(\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot ),\,x\longmapsto Q(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Wir betrachten

${}\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,$

mit der in Aufgabe 1.19 beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung

$\psi \colon \mathbb {Z} /(d)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,r\longmapsto r,$

kein Gruppenhomomorphismus ist.

Wir erinnern an den Begriff einer Matrix.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Unter einer Matrix (über ${}R$) versteht man einen Ausdruck der Form

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$

wobei die Einträge ${}a_{ij}$ aus ${}R$ sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

eine Matrix über ${}R$. Zeige, dass die Matrix einen Gruppenhomomorphismus

$R^{n}\longrightarrow R^{m}$

definiert, indem man

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

anwendet, wobei

${}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{1i}x_{i}\\\sum _{i=1}^{n}a_{2i}x_{i}\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}a_{mi}x_{i}\end{pmatrix}}\,$

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle (in geeigneten Maßeinheiten) wiedergegeben:

Sorte	Kalorien	Vitamin C	Fett
Schokokeks	10	5	3
Waffelröllchen	8	7	6
Mandelstern	7	3	1
Nougatring	12	0	5

a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel ${}(x,y,z,w)$ das Aufnahmetupel ${}(K,V,F)$ berechnet.

b) Heinz isst ${}100$ Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.

c) Ludmilla isst ${}10$ Nougatringe und ${}11$ Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.

d) Peter isst ${}5$ Mandelsterne mehr und ${}7$ Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.

Matrizen werden miteinander multipliziert, indem jede Zeile der linken Matrix mit jeder Spalte der rechten Matrix gemäß der Merkregel

${}(ZEILE){\begin{pmatrix}S\\P\\A\\L\\T\end{pmatrix}}=ZS+EP+IA+LL+ET\,$

multipliziert wird (insbesondere muss die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen) und das Ergebnis an die entsprechende Stelle gesetzt wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}Z&E&I&L&E\\R&E&I&H&E\\H&O&R&I&Z\\O&N&T&A&L\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}S&E&I\\P&V&K\\A&E&A\\L&R&A\\T&T&L\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,$

die Menge aller invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${}M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

$M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge, und es seien ${}\operatorname {Perm} \,(T)$ und ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ die zugehörigen Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf ${}M$, siehe Aufgabe 1.5.) Zeige, dass durch

$\Psi \colon \operatorname {Perm} \,(T)\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,\varphi \longmapsto {\tilde {\varphi }},$

mit

${}{\tilde {\varphi }}(x)={\begin{cases}\varphi (x),\,{\text{falls }}x\in T,\\x{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}h\in G$. Zeige, dass die Abbildung

$G\longrightarrow G,\,g\longmapsto hgh^{-1},$

eine Gruppenautomorphismus ist.

Die Automorphismen der vorstehenden Aufgabe nennt man auch innere Automorphismen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow G,\,h\longmapsto hg,$

die Multiplikation mit ${}g$. Zeige, dass ${}\varphi$ bijektiv ist, und dass ${}\varphi$ genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn ${}g=e_{G}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}G_{1},\ldots ,G_{n}$ Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

$G_{1}\times \cdots \times G_{n}.$

b) Es sei ${}H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

$\varphi \colon H\longrightarrow G_{1}\times \cdots \times G_{n},\,x\longmapsto \varphi (x)=(\varphi _{1}(x),\ldots ,\varphi _{n}(x)),$

genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten ${}\varphi _{i}$ Gruppenhomomorphismen sind.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$.

Die folgende Aufgabe knüpft an Aufgabe 1.20 an. Zu einer reellen Zahl ${}x$ bezeichnet ${}\lfloor x\rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ${}x$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten

${}M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,$

mit der in Aufgabe 1.17 definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe 1.20 eine Gruppe ist. Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow M,\,q\longmapsto q-\lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ den Kern des Potenzierens

$\mathbb {R} ^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} ^{\times },\,z\longmapsto z^{n}.$

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow G$

in eine Gruppe ${}G$ mit der Eigenschaft gibt, dass ${}r\in \mathbb {R}$ genau dann irrational ist, wenn ${}\varphi (r)=0$ ist.