- Übungsaufgaben
Drücke in
den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Drücke in
den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Es sei
ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Es sei
,
,
eine Familie von Vektoren in
und
ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
-
ein
Erzeugendensystem
von
ist und dass sich
als
Linearkombination
der
,
,
darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
,
,
ein Erzeugendensystem von
ist.
Es sei
ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.
- Sei
,
,
eine Familie von
Untervektorräumen
von
. Dann ist auch der Durchschnitt
-
![{\displaystyle {}U=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884d8c6452e4bcc98c72604b9de56bed8bfb8e4b)
ein Untervektorraum.
- Zu einer Familie
,
,
von Elementen in
ist der
erzeugte Unterraum
ein Unterraum.
- Die Familie
,
,
ist genau dann ein Erzeugendensystem von
, wenn
-
![{\displaystyle {}\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9937f6125cfbc16343e62e7c95082b4185594d3)
ist.
Zeige, dass die drei Vektoren
-
im
linear unabhängig sind.
Man gebe im
drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen
linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.
Es sei
ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
,
, eine Familie von Vektoren in
. Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn die Familie
linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge
die Familie
,
, linear unabhängig.
- Die leere Familie ist linear unabhängig.
- Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Ein Vektor
ist genau dann linear unabhängig, wenn
ist.
- Zwei Vektoren
und
sind genau dann linear unabhängig, wenn weder
ein skalares Vielfaches von
ist noch umgekehrt.
Es sei
ein Körper,
ein
-Vektorraum und sei
,
, eine Familie von Vektoren in
. Es sei
,
, eine Familie von Elementen
aus
. Zeige, dass die Familie
,
, genau dann
linear unabhängig
(ein
Erzeugendensystem von
, eine
Basis von
) ist, wenn dies für die Familie
,
, gilt.
Bestimme eine
Basis
für den
Lösungsraum
der linearen Gleichung
-
![{\displaystyle {}3x+4y-2z+5w=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ae6a3ab7d716d56b42166f1d1f874ab3635f7f)
Bestimme eine
Basis für den
Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
-
Zeige, dass im
die drei Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Bestimme, ob im
die beiden Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Es sei
ein
Körper. Man finde ein
lineares Gleichungssystem
in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
-
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Drücke in
den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.
Bestimme, ob im
die drei Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Bestimme, ob im
die beiden Vektoren
-
eine
Basis
bilden.