Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 26/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es seien vollständige Gitter. Zeige, dass es eine - lineare Abbildung
gibt, die einen Gruppenisomorphismus
induziert.
Es seien rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es eine - lineare Abbildung
gibt, die einen Gruppenisomorphismus
induziert.
Charakterisiere die Restklassengruppe eines Gitters .
Zu einem durch linear unabhängige Vektoren gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren mit als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.
Es sei ein Gitter und sei ein Erzeugendensystem von . Zeige, dass der Flächeninhalt zur Grundmasche zu diesen Erzeugern nur vom Gitter abhängt.
Es sei ein Gitter und sei ein Untergitter. Zeige, dass die Anzahl von gleich dem Betrag der Determinante von ist.
Wir betrachten die Matrizen und aus . Zeige die folgenden Aussagen.
- Es ist
für alle .
- Die von erzeugte Untergruppe in ist kein Normalteiler.
Zeige, dass in der Modulgruppe die Relationen und gelten.
Es sei eine Gruppe und eine Menge. Eine Abbildung
heißt Gruppenoperation (von auf ), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.
- für alle .
- für alle und für alle .
Es sei
eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge . Eine Teilmenge heißt Fundamentalbereich für die Operation, wenn es für jedes genau ein mit gibt.
Zeige, dass die Modulsubstitution eine Gruppenoperation auf der oberen Halbebene ist.
Finde für das Gitter das Element im Fundamentalbereich derart, dass streckungsäquivalent zu ist.
Finde für das Gitter das Element im Fundamentalbereich derart, dass streckungsäquivalent zu ist.
Finde für das Gitter das Element im Fundamentalbereich derart, dass streckungsäquivalent zu ist.
Es sei ein Gitter in . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in .
- ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in .
- ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form mit und .
Interpretiere die Modulsubstitution auf der oberen Halbebene als Gruppenoperation auf der offenen Einheitskreisscheibe mit Hilfe von Lemma 2.10.
Es sei
eine bijektive - lineare Abbildung und sei ein Gitter. Zeige, dass einen Diffeomorphismus und Homomorphismus der reellen Lie-Gruppe
induziert, dass dies aber kein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen sein muss.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Alle Springmäuse leben in und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung und den Sprung . Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen
Welche Springmäuse können sich begegnen?
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es ein rationales Gitter mit gibt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein vollständiges Gitter und
die kanonische Projektion, wobei der Quotient mit der Quotiententopologie versehen sei. Zeige, dass eine Überlagerung ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde für das Gitter das Element im Fundamentalbereich derart, dass streckungsäquivalent zu ist.