Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/26/Klausur mit Lösungen/kontrolle



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 1 0 2 2 2 0 4 6 2 3 3 5 5 2 0 2 0 2 3 50




Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Die Menge

    heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

  2. Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .
  3. Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen , der und der Menge , die die negativen ganzen Zahlen heißen.
  4. Die natürliche Zahl heißt ein gemeinsames Vielfaches der , wenn ein Vielfaches von jedem ist, also von jedem geteilt wird.
  5. Die Addition der rationalen Zahlen und ist durch

    definiert.

  6. Die Abbildung heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.


Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. In einem kommutativen Halbring gilt die erste binomische Formel, also die Beziehung
  2. Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl eine eindeutig bestimmte ganze Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit
  3. Es sei ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper . Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge , , gegen .


Aufgabe (1 Punkt)

In verschiedenen mathematischen Kontexten bedeutet das Symbol „unendlich“. Ist die Menge endlich oder unendlich?


Lösung

Die Menge ist endlich mit genau einem Element.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Finde drei Quadratzahlen

derart, dass der Abstand von zu gleich dem Abstand von zu ist.


Lösung

Man kann , und nehmen.


Aufgabe (2 Punkte)

Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben. „Es sei die Aussage, dass je Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese Pferde überhaupt die gleiche Farbe“. Analysiere diese Argumentation.


Lösung Pferde/Farbe/Induktion/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf .


Lösung Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Wir definieren die Folge (der sogenannten Bernoulli-Zahlen) , , durch und für durch die rekursive Bedingung

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne .
  4. Berechne .
  5. Zeige, dass alle rationale Zahlen sind.


Lösung

  1. Für ist die rekursive Bedingung gleich
    also ist .
  2. Für ist die rekursive Bedingung gleich
    also ist .
  3. Für ist die rekursive Bedingung gleich
    also ist .
  4. Für ist die rekursive Bedingung gleich
    also ist .
  5. Wir zeigen die Aussage durch Induktion nach , wobei der Induktionsanfang bereits erledigt ist. Zum Beweis des Induktionsschrittes nehmen wir an, das die Rationalität von bereits bekannt sei. Die Rekursionsbedingung

    schreiben wir als

    bzw. als

    Da die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind, steht hier wieder eine rationale Zahl.


Aufgabe (2 Punkte)

Heute ist Freitag. Welcher Wochentag ist in Tagen?


Lösung

Es ist

der Rest bei der Division von durch ist also . Daher ist in Tagen Donnerstag.


Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Ist diese Abbildung injektiv?
  2. Ist diese Abbildung surjektiv?


Lösung

  1. Wir behaupten, dass die Abbildung injektiv ist. Seien gegeben, die auf das gleiche Element abgebildet werden, also

    was

    und

    bedeutet. Durch Addition der beiden Gleichungen ergibt sich

    und daraus durch Kürzen

    Aus der ersten Gleichung folgt dann auch

  2. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da das Element nicht getroffen wird. Aus

    folgt direkt

    und daraus

    was in nicht lösbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Differenz und endliche Mengen.


Lösung

Es ist

eine disjunkte Zerlegung. Daher gilt nach Satz 8.14 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))

Somit erfüllt die charakteristische Eigenschaft der Differenz und ist daher gleich .


Aufgabe (5 (0.5+0.5+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten auf die Verknüpfung

  1. Was bedeutet die Verknüpfung für einstellige Ziffern?
  2. Ist die Verknüpfung kommutativ?
  3. Ist die Verknüpfung assoziativ?
  4. Gelten die Distributivgesetze

    und

  5. Es bezeichne nun zu das Symbol diejenige Zahl im Dezimalsystem, die aus Einsen besteht. Zeige


Lösung

  1. Dem Paar zu einstelligen Zahlen wird die Zahl im Dezimalsystem zugeordnet.
  2. Die Verknüpfung ist nicht kommutativ, da und ist.
  3. Es ist

    und

    die Verknüpfung ist also nicht assoziativ.

  4. Es ist

    und

    sowie

    und

    die Distributivgesetze gelten also beide nicht.

  5. Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von genau die Teilmengen der Form

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl sind.


Lösung

Eine Teilmenge der Form ist aufgrund der Distributivgesetze eine Untergruppe. Es sei umgekehrt eine Untergruppe. Bei kann man nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass neben noch mindestens ein weiteres Element enthält. Wenn negativ ist, so muss die Untergruppe auch das Negative davon, also enthalten, welches positiv ist. D.h. enthält auch positive Zahlen. Es sei nun die kleinste positive Zahl aus . Wir behaupten . Dabei ist die Inklusion klar, da mit alle (positiven und negativen) Vielfachen von dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei beliebig. Nach der Division mit Rest gilt

Wegen und ist auch . Nach der Wahl von muss wegen gelten: Dies bedeutet und damit , also .


Aufgabe (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?


Lösung

Der Anteil am weltweiten Gold ist

also etwa .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Prof. Knopfloch und Dr. Eisenbeis basteln einen Adventskalender mit Türen für ihren Neffen Willem, der sich für Hunde und für Primzahlen interessiert. Dr. Eisenbeis legt in die Fächer zu den geradzahligen Tagen jeweils ein lustiges Hundebild. Prof. Knopfloch legt in die Fächer zu den ungeradzahligen Tagen jeweils eine bunt gemalte Primzahl, und zwar in aufsteigender natürlicher Reihenfolge.

  1. Welche Primzahl befindet sich hinter dem . Türchen?
  2. Hinter welchem Türchen befindet sich die ?
  3. Für welche Türchen stimmt die Nummer der Türe mit dem Inhalt überein?
  4. Ist die Summe aller verwendeten Primzahlen gerade oder ungerade?


Lösung

  1. Hinter dem 23. Türchen befindet sich die zwölfte Primzahl, das ist die .
  2. Die befindet sich hinter dem 17. Türchen.
  3. Für .
  4. Es werden zwölf Primzahlen verwendet, davon ist eine gerade, daher ist ihre Summe ungerade.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

In Winnetou II lesen wir: „Deshalb werden wir nicht alle fünf zugleich schlafen, sondern einer muss wachen, und die Wache wird von Stunde zu Stunde abgelöst. [...] Das gibt fünf Stunden Schlaf für jeden.“

Was fällt auf? Wie lange muss der Schlafzeitraum der fünf Leute sein, wenn stets einer davon wacht und jeder auf fünf Stunden Schlafenszeit kommt? Wie lange muss dann jeder Wache schieben?


Lösung

Karl May hat sich verrechnet. Wenn der gesamte Schlafzeitraum fünf Stunden ist und stets einer Wache hält, kommt jeder nur auf vier Stunden Schlaf. Bei dem angegebenen Modus besitzt das Verhältnis von Schlafzeitraum zur wirklichen Schlafenszeit die Form

Wenn jeder auf fünf Stunden Schlafenszeit kommt, muss man den Gesamtzeitraum als

ansetzen. Die Schlafzeitraum ist also Stunden und eine Viertelstunde, jeder muss eine und eine Viertel Stunde Wache schieben.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe eine typische Fehlvorstellung, die man zu der Dezimalentwicklung von natürlichen (oder rationalen) Zahlen haben kann. Wie kann man diese erkennen und gegebenenfalls ausräumen?


Lösung Zehnersystem/Fehlvorstellung/Aufgabe/Lösung