Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 36

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix derart, dass es ${}n\times n$-Matrizen ${}A,B$ mit ${}M\circ A=E_{n}$ und mit ${}B\circ M=E_{n}$ gibt. Zeige ${}A=B$ und dass ${}M$ invertierbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine invertierbare Matrix ${}M$ weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ invertierbare ${}n\times n$- Matrizen. Zeige, dass auch ${}M\circ N$ invertierbar ist, und dass

${}(M\circ N)^{-1}=N^{-1}\circ M^{-1}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$, Zeige, dass die Menge ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei ${}n\geq 2$ nicht kommutativ ist.

Aufgabe *

Es seien ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ und ${}A={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$ Matrizen über einem Körper ${}K$ mit

${}A\circ M={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass dann auch

${}M\circ A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix mit Einträgen in ${}K$. Zeige, dass die Multiplikation mit ${}m\times m$- Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung haben.

1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).

Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.

Aufgabe

Zeige, dass man eine Scherungsmatrix

${}A_{ij}(a)=E_{n}+aB_{ij}\,$

als Matrizenprodukt ${}M\circ N\circ L$ schreiben kann, wobei ${}M$ und ${}L$ Diagonalmatrizen sind und ${}N$ eine Scherungsmatrix der Form ${}A_{ij}(1)$ ist.

Aufgabe

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}4&6\\7&-3\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}8&5&-1\\0&4&1\\2&7&-6\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}2&7\\-4&9\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe *

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Führe für die Matrix

${\begin{pmatrix}3&-2&5\\1&7&-4\\9&17&-2\end{pmatrix}}$

das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.

Aufgabe *

1. Überführe die Matrixgleichung

   ${}{\begin{pmatrix}3&7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}1&2&3\\6&-1&-2\\0&3&7\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe *

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}\,.$

a) Zeige

${}M^{2}=E_{2}\,.$

b) Bestimme die inverse Matrix zu ${}M$.

c) Löse die Gleichung

${}M{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Löse die linearen Gleichungssysteme

${\begin{pmatrix}7&4\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7&4\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7&4\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}}$

simultan.

Aufgabe

Beschreibe die Umkehrabbildungen zu den elementargeometrischen Abbildungen Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung, Streckung, Verschiebung.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn es eine ${}n\times m$-Matrix ${}A$ mit ${}M\circ A=E_{m}$ gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&k+2&k+1\\0&0&k+1&k\\-k&k+1&0&0\\k+1&-(k+2)&0&0\end{pmatrix}}$

für jedes ${}k\in K$ zu sich selbst invers ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}3&5&-1\\4&7&2\\2&-3&6\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

1. Überführe die Matrixgleichung

   ${}{\begin{pmatrix}-6&5\\1&-8\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

$M={\begin{pmatrix}2&3&2\\5&0&4\\1&-2&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

unter der Voraussetzung ${}ad-bc\neq 0$ durch.