Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 43/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper und es seien . Zeige
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Schreibe die Menge
als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass der Durchschnitt von zwei abgeschlossenen Intervallen in einem angeordneten Körper wieder ein abgeschlossenes Intervall ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass der Durchschnitt von einem abgeschlossenen und einem offenen Intervall in einem angeordneten Körper offen, abgeschlossen und halboffen sein kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien Intervalle in einem angeordneten Körper mit . Zeige, dass die Vereinigung wieder ein Intervall ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und ein Intervall mit den Intervallgrenzen . Zeige, dass es in eine rationale Zahl gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und ein Intervall mit den Intervallgrenzen . Zeige, dass es in unendlich viele rationale Zahlen gibt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper , die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.
a)
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Für ein Folgenglied gelte . Zeige, dass auch für alle weiteren Glieder die Folge konstant gleich ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl (mit einem positiven Startwert ) berechnen möchte?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert die Quadratwurzel von berechnen möchte?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
Es ist und . Führe, ausgehend vom Intervall , Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion an der linken Grenze des Intervalls positiv und an der rechten Grenze negativ ist, bis ein Intervall der Länge erreicht ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung
Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung , welche nicht?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Menge
- Zeige, dass eine Untergruppe von (bezüglich der Addition) ist.
- Zeige, dass unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
- Zeige, dass die rationalen als Diagonalmatrizen enthält.
- Zeige, dass ein kommutativer Ring ist.
- Zeige, dass ein Körper ist.
- Zeige, dass eine Quadratwurzel zu enthält.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Berechne
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Ein angeordneter Körper enthalte die Wurzeln und . Zeige, dass auch enthält.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Drücke
mit einer einzigen Wurzel aus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Drücke
mit einer einzigen Wurzel aus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten auf die Relation , falls gilt.
- Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
- Es sei
die zugehörige Quotientenmenge. Zeige, dass auf durch
eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.
- Zeige, dass eine kommutative Gruppe ist.
- Es sei ein
angeordneter Körper,
in dem es zu jedem und jedes die Wurzel gibt. Zeige, dass die Zuordnung
ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass der Durchschnitt von zwei offenen Intervallen in einem angeordneten Körper wieder ein offenes Intervall ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper , die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung bilden.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
Es ist und . Führe, ausgehend vom Intervall , Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion an der linken Grenze des Intervalls negativ und an der rechten Grenze positiv ist, bis ein Intervall der Länge erreicht ist.
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