Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 25



Die Pausenaufgabe

Ein Bakterium möchte entlang des Äquators die Erde umrunden. Es ist ziemlich klein und schafft am Tag genau Millimeter. Wie viele Tage braucht es für eine Erdumrundung?




Übungsaufgaben

Beinhaltet Ihre intuitive Vorstellung einer Zahlengerade, dass es zu jeder Zahl darauf eine natürliche Zahl weiter rechts gibt?


Beinhaltet Ihre intuitive Vorstellung einer Zahlengerade, dass es keine positive Zahl gibt, die kleiner als alle Stammbrüche ist?


Auf der Zahlengeraden seien zwei Punkte als und markiert. Welche Punkte der Zahlengerade lassen sich, ausgehend von diesen beiden Punkten und mit welchen Methoden, präzise positionieren, markieren, adressieren?


Zeige, dass es in einem archimedisch angeordneten Körper zu jedem Element eine ganze Zahl mit gibt.


Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die halboffenen Intervalle

eine disjunkte Überdeckung von bilden.


Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass es für jedes eine ganze Zahl und ein mit und mit

gibt.


Berechne die Gaußklammer


Berechne die Gaußklammer


Es sei

das Ergebnis einer Division mit Rest innerhalb der ganzen Zahlen. Zeige, dass

ist.


Es sei eine rationale Zahl. Zeige, dass genau dann ganzzahlig ist, wenn

gilt.


Es seien rationale Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.


Runde die folgenden Brüche auf ganze Zahlen.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Führe die folgenden Rechnungen durch, wobei die Angaben als gemischte Brüche zu lesen sind. Auch die Ergebnisse sollen als gemischte Brüche angegeben werden.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Wir betrachten positive rationale Zahlen als gemischte Brüche.

a) Zeige, dass bei der Addition von zwei gemischten Brüchen der Bruchterm der Summe nur von den Bruchtermen der Summanden abhängt.

b) Wie sieht dies mit dem ganzen Teil aus?


Wie oft muss man eine Strecke der Länge Meter mindestens hintereinander legen, um einen Kilometer zu erhalten?


Wie viele Billionstel braucht man, um ein Milliardstel zu erreichen?


Im Wald lebt ein Riese, der Meter und cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von cm haben und mit dem Kopf insgesamt cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander (auf den Schultern) stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?


Finde eine natürliche Zahl derart, dass

ist.


Es sei ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion


Es sei ein angeordneter Körper. Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion


Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion


Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Abbildung

streng wachsend ist.


Zeige, dass die Funktion

weder wachsend noch fallend ist.


Es sei ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion


Es sei ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Gaußklammer


Es sei ein angeordneter Körper und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann konstant ist, wenn gleichzeitig wachsend und fallend ist.


Es sei ein angeordneter Körper und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann wachsend ist, wenn die Funktion

fallend ist, und dass dies äquivalent dazu ist, dass die Funktion

fallend ist.


Es sei ein angeordneter Körper und es sei

eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. ist genau dann streng wachsend, wenn streng wachsend ist.
  2. ist genau dann streng fallend, wenn streng fallend ist.


Man gebe ein Beispiel für eine streng wachsende Funktion

deren Werte zwischen und liegen.


Mustafa Müller will mit Freunden zelten gehen, dafür hat ihm seine Oma eine stattliche Portion Kuchen mitgegeben. Wenn er drei Freunde mitnimmt, so reicht der Kuchen für Tage. Wie lange reicht der Kuchen, wenn er sieben Freunde mitnimmt? Wie lange reicht der Kuchen, wenn er allein geht? Mustafa entschließt sich, mit seiner ganzen Klasse einschließlich der Klassenlehrerin, Frau Maier-Sengupta, zelten zu gehen. Der Kuchenvorrat reicht genau für einen Tag. Wie viele Kinder sind in der Klasse?


Wir interessieren uns für alle Rechtecke eines vorgegebenen Flächeninhalts . Zeige, dass zwischen den Rechtecksseiten ein antiproportionaler Zusammenhang besteht.


Es soll eine bestimmte Entfernung zurückgelegt werden. Zeige, dass zwischen der Fahrzeit und der (Durchschnitts-)Geschwindigkeit ein antiproportionaler Zusammenhang besteht.


Für ein aufwändiges Projekt hat die Teamleitung Personenjahre angesetzt. Welche ganzzahligen Realisierungen gibt es für dieses Projekt, wenn es spätestens in zwanzig Jahren fertig sein soll und wenn höchstens qualifizierte Mitarbeiter zur Verfügung stehen?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für jede rationale Zahl die Abschätzungen

gelten.


Aufgabe (1 Punkt)

Lucy Sonnenschein verbringt einen Urlaubsnachmittag in einem Seebad. Sie hält sich eineinviertel Stunden am Strand auf, dann eine halbe Stunde in der Eisdiele, dann eineinhalb Stunden im Park, sodann wieder zweidreiviertel Stunden am Strand und schließlich Minuten im Café. Wie lange war ihr Nachmittag?


Aufgabe (2 Punkte)

Ein kleines Sandkorn hat ein Gewicht von Gramm. Wie viele Sandkörner muss man nehmen, um eine Sanddüne aufzubauen, die und eine halbe Tonne wiegt?


Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien Abbildungen

gegeben, die jeweils entweder streng wachsend oder streng fallend sind. Es sei die Anzahl der streng fallenden Abbildungen darunter. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung genau dann streng fallend ist, wenn ungerade ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es soll eine Düne aus Tonnen Sand vom Nordseestrand zum Ostseestrand transportiert werden. Zur Erledigung dieser Aufgabe stehen der beauftragten Firma folgende Geräte zur Verfügung: eine Schaufel, mit der man auf einmal kg transportieren kann, eine Schubkarre mit Platz für einen Zentner, ein Bagger, der Tonnen aufladen kann und ein Laster mit einem Fassungsvermögen von Tonnen. Wie oft muss das Gerät jeweils eingesetzt werden, um (mit diesem Gerät allein) den Auftrag zu erfüllen?



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