Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 36/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Aufgabe 36.1 ändern

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die Umkehrabbildungen zu den elementargeometrischen Abbildungen Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung, Streckung, Verschiebung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix von

${\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&-1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &-{\frac {5}{3}}&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&17&0\\0&\cdots &\cdots &0&10^{-4}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix von

${\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&1\\0&0&\cdots &1&0\\\vdots &\vdots &1&\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0\\1&0&\cdots &0&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine invertierbare Matrix ${}M$ weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix derart, dass es ${}n\times n$-Matrizen ${}A,B$ mit ${}M\circ A=E_{n}$ und mit ${}B\circ M=E_{n}$ gibt. Zeige ${}A=B$ und dass ${}M$ invertierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}M$ und ${}N$ invertierbare ${}n\times n$- Matrizen. Zeige, dass auch ${}M\circ N$ invertierbar ist, und dass

${}(M\circ N)^{-1}=N^{-1}\circ M^{-1}\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei ${}n\geq 2$ nicht kommutativ ist.

Aufgabe * Aufgabe 36.9 ändern

Es seien ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ und ${}A={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$ Matrizen über einem Körper ${}K$ mit

${}A\circ M={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass dann auch

${}M\circ A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn es eine ${}n\times m$-Matrix ${}A$ mit ${}M\circ A=E_{m}$ gibt.

Aufgabe Aufgabe 36.11 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix mit Einträgen in ${}K$. Zeige, dass die Multiplikation mit ${}m\times m$- Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung haben.

1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man eine Scherungsmatrix

${}A_{ij}(a)=E_{n}+aB_{ij}\,$

als Matrizenprodukt ${}M\circ N\circ L$ schreiben kann, wobei ${}M$ und ${}L$ Diagonalmatrizen sind und ${}N$ eine Scherungsmatrix der Form ${}A_{ij}(1)$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}4&6\\7&-3\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}8&5&-1\\0&4&1\\2&7&-6\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}2&7\\-4&9\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Führe für die Matrix

${\begin{pmatrix}3&-2&5\\1&7&-4\\9&17&-2\end{pmatrix}}$

das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Überführe die Matrixgleichung

   ${}{\begin{pmatrix}3&7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}1&2&3\\6&-1&-2\\0&3&7\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&3&7\\0&0&-4&2\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}\,.$

a) Zeige

${}M^{2}=E_{2}\,.$

b) Bestimme die inverse Matrix zu ${}M$.

c) Löse die Gleichung

${}M{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse die linearen Gleichungssysteme

${\begin{pmatrix}7&4\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7&4\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7&4\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}}$

simultan.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&k+2&k+1\\0&0&k+1&k\\-k&k+1&0&0\\k+1&-(k+2)&0&0\end{pmatrix}}$

für jedes ${}k\in K$ zu sich selbst invers ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}3&5&-1\\4&7&2\\2&-3&6\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Überführe die Matrixgleichung

   ${}{\begin{pmatrix}-6&5\\1&-8\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

$M={\begin{pmatrix}2&3&2\\5&0&4\\1&-2&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse die linearen Gleichungssysteme

${\begin{pmatrix}3&-7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3&-7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3&-7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\11\end{pmatrix}},$

${\begin{pmatrix}3&-7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{4}\\y_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3&-7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{5}\\y_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5\\-13\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3&-7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{6}\\y_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\-1\end{pmatrix}}$

simultan durch Invertieren der Matrix.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

unter der Voraussetzung ${}ad-bc\neq 0$ durch.