Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 53/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

$5^{\frac {2}{3}}$

bis auf einen Fehler von ${}1$.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl und ${}q=n/m\in \mathbb {Q}$. Zeige, dass die durch

${}b^{q}:={\left(b^{n}\right)}^{1/m}\,$

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ${}q$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne

$2^{\frac {9}{10}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

$5^{\frac {3}{7}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe * Aufgabe 53.5 ändern

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

stetig ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}q\in \mathbb {Q}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{q},$

stetig ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {5n^{\frac {3}{2}}+4n^{\frac {4}{3}}+n}{7n^{\frac {5}{3}}+6n^{\frac {3}{2}}}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{\frac {5}{4}}-2n^{\frac {4}{3}}+n}{4n^{\frac {7}{5}}+5n^{\frac {1}{2}}+1}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der einzige Gruppenhomomorphismus

$(\mathbb {Q} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},\cdot ,1)$

die konstante Abbildung auf ${}1$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine monotone Funktion und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ${}g$ auf ${}\mathbb {Q}$ nicht unbedingt mit ${}f$ übereinstimmen muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine monotone Funktion und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ${}g$ ebenfalls monoton ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige monotone Funktion und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ${}g$ auf ${}\mathbb {Q}$ mit ${}f$ übereinstimmt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Vergleiche die beiden Zahlen

${\sqrt {3}}^{-{\frac {9}{4}}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {3}}^{-{\sqrt {5}}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vergleiche die drei Zahlen

$2^{\sqrt {3}},\,4,\,3^{\sqrt {2}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

${\sqrt {2}}^{\sqrt {3}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe Aufgabe 53.16 ändern

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion ${}\neq 0$, die die Gleichung

${}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto b^{x},$

aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

${}f(x)=a^{x}\,$

eine Exponentialfunktion mit ${}a\neq 1$. Zu jedem ${}x\in \mathbb {R}$ definiert die Gerade durch die beiden Punkte ${}(x,f(x))$ und ${}(x+1,f(x+1))$ einen Schnittpunkt mit der ${}x$-Achse, den wir mit ${}s(x)$ bezeichnen. Zeige

${}s(x+1)=s(x)+1\,.$

Skizziere die Situation.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl und

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

die zugehörige Exponentialfunktion. Zeige

${}{\left(b^{x}\right)}^{x'}=b^{xx'}\,$

für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$ unter Bezug auf die entsprechende Gleichung für rationale Argumente.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Graphen zu den Funktionen

${}f_{k}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}\,$

für ${}n=2,3,4,5,6$ auf ${}[-3,3]$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ordne die Zahlen

$\exp \left(0,6\right),\,\exp \left(0,7\right){\text{ und }}2$

gemäß ihrer Größe.

Aufgabe Aufgabe 53.23 ändern

Für ${}N\in \mathbb {N}$ und ${}x\in \mathbb {R}$ sei

${}R_{N+1}(x)=\exp x-\sum _{n=0}^{N}{\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\,$

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für ${}\vert {x}\vert \leq 1+{\frac {1}{2}}N$ die Restgliedabschätzung

${}\vert {R_{N+1}(x)}\vert \leq {\frac {2}{(N+1)!}}\vert {x}\vert ^{N+1}\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

mit ${}f(0)=1$ und mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die von ${}2^{x}$ verschieden ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich ${}2\%$. Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man bastle einen Rechenschieber, der die Multiplikation von positiven reellen Zahlen ausführt.

Aufgabe Aufgabe 53.27 ändern

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis ${}b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.

1. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$.
2. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
3. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{u},$

stetig ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

$3^{\frac {4}{5}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Vergleiche

$5^{-{\frac {4}{7}}}\,\,{\text{ und }}\,\,5^{-{\frac {5}{9}}}.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde eine rationale Zahl zwischen den beiden Zahlen ${}2^{\sqrt {5}}$ und ${}3^{\sqrt[{3}]{2}}$ folgere daraus, welche größer ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {-2n^{\frac {6}{5}}+6n^{\frac {5}{3}}+n^{2}}{3n^{\frac {7}{3}}+4n^{\frac {12}{5}}}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit der Eigenschaft, dass es keine stetige Funktion

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

gibt, die auf ${}\mathbb {Q}$ mit ${}f$ übereinstimmt.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon (\mathbb {Q} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1)$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein reelles ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ für alle ${}x\in \mathbb {Q}$ gibt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne ${}e^{3}$ mit Hilfe der Exponentialreihe bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{1000}}$.

Die Restgliedabschätzung aus Aufgabe 53.23 darf verwendet werden.