Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 26

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Ring ${}K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+YZ^{3}\right)}$ genau in ${}P=(0,0,0)$ singulär ist.

Aufgabe

Bestimme für die binäre Tetraedergruppe die Dimension von ${}{\mathbb {C} }[U,V]_{d}^{BT}$ für ${}d\leq 12$.

Aufgabe

Bestimme für die binäre Oktaedergruppe die Dimension von ${}{\mathbb {C} }[U,V]_{d}^{BO}$ für ${}d\leq 24$.

Aufgabe

Zeige, dass der Ring ${}K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$ genau in ${}P=(0,0,0)$ singulär ist.

Aufgabe

Zeige, dass es auf den ${}A$- und den ${}D$-Singularitäten und auf der ${}E_{6}$ und der ${}E_{7}$-Singularität glatte Kurven gibt, die durch den singulären Punkt laufen.

Aufgabe

Bestätige, dass die in Beispiel 26.4 angegebenen Polynome ${}{\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}}$ in der Tat invariant sind, und dass die dort angegebene Relation besteht.

Aufgabe

Zeige, dass es einen injektiven Ringhomomorphismus

${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }[R,S,T]/{\left(RS-T^{2}\right)}$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Ringe der ADE-Singularitäten eine positive Graduierung besitzen. Man gebe diese jeweils an.

Wir erinnern an folgende Definition.

Zu einer Gruppe ${}G$ heißt die von allen Kommutatoren ${}aba^{-1}b^{-1}$, ${}a,b\in G$, erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von ${}G$. Sie wird mit ${}K(G)$ bezeichnet.

Die Kommutatorgruppe ist nach Lemma 21.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein Normalteiler, die Restklassengruppe ${}G/K(G)$ nennt man auch die Abelianisierung von ${}G$.

Aufgabe

Bestimme zu den endlichen Untergruppen ${}G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ jeweils die Kommutatoruntergruppe und die Abelianisierung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es auf der ${}E_{8}$-Singularität keine glatte Kurve gibt, die durch den singulären Punkt läuft.