Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 12/latex
\setcounter{section}{12}
Wir kommen nun zu wichtigen Folgerungen der in den letzten beiden Vorlesungen entwickelten Begriffe für die Invariantentheorie.
\zwischenueberschrift{Ganzheit und Invariantenringe}
\inputfaktbeweis
{Invariantenring/Endliche Gruppe/Ganzheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
auf dem eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{}
$G$ durch
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
operiere.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R^G
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Erweiterung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir das Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \prod_{\sigma \in G} (X- f\sigma )
}
{ \in} { R[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Koeffizienten dieses Polynoms gehören zum
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
$R^G$. Ferner ist $P$ normiert und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {da ja
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ X- f e_G
}
{ = }{ X-f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Linearfaktor ist} {} {.}
Somit liefert $P$ eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
für $f$ über $R^G$ und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R^G
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {ganz}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Invariantenring/Gruppe/Normalität/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf $R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} operiere.}
\faktfolgerung {Dann ist auch der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{} normal.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{q \in Q { \left( R^G \right) } \subseteq Q(R)}{} und $q$ erfülle eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{} über $R^G$. Wegen
\mathl{R^G \subseteq R}{} ist $q$ auch ganz über $R$ und wegen der Normalität von $R$ muss
\mathl{q \in R}{} gelten. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R \cap Q { \left( R^G \right) }
}
{ =} { R^G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} ist somit
\mathl{q \in R^G}{,} also ist $R^G$ normal.
Es ist eine wichtige Frage, welche weiteren Eigenschaften eines Ringes sich
\zusatzgs {unter welchen Bedingungen} {}
auf einen Invariantenring übertragen. Für die endliche Erzeugtheit werden wir das im Folgenden behandeln, für die Faktorialität weiter unten. Die Eigenschaft, dass der Invariantenring bei einer linearen Operation ein Polynomring
\zusatzklammer {also \anfuehrung{regulär}{}} {} {}
ist, werden wir später ausführlich behandeln.
\zwischenueberschrift{Der Satz von Noether}
Der folgende Satz heißt \stichwort {Satz von Noether} {.}
\inputfaktbeweis
{Invariantentheorie/Endliche Gruppe/Satz von Noether/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
auf der eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{}
$G$ durch
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
\mathl{R^G}{} eine endlich erzeugte $K$-Algebra.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {K[f_1 , \ldots , f_n]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach Lemma 12.1
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R^G
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Erweiterung}{}{.}
Zu jedem $f_i$ gibt es daher eine Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_i^{n_i} + a_{i, n_i-1} f_i^{n_i-1} + \cdots + a_{i,1} f_i + a_{i,0}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{i,j}
}
{ \in }{ R^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die von den Koeffizienten
\mathl{a_{i,j}}{} erzeugte
$K$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{}
von $R^G$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ \defeq} {K[a_{i,j},\, 1 \leq i \leq n,\, 0 \leq j < n_i]
}
{ \subseteq} { R^G
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist $S$ endlich erzeugt, und sämtliche Ganzheitsgleichungen sind über $S$ formulierbar, d.h.
nach Korollar 11.6,
dass $R$ auch über $S$ ganz ist. Da $R$ über $K$ endlich erzeugt ist, ist $R$ insbesondere über $S$ endlich erzeugt, sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach Satz 11.10
sogar
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist. Da $S$
\definitionsverweis {noethersch}{}{}
ist, muss
nach Satz 10.13
auch die $S$-Unteralgebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R^G
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein endlicher $S$-Modul sein. Damit ist insgesamt $R^G$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.
Aus
Lemma 12.1
und
Satz 12.3
folgt in Zusammenhang mit
Satz 11.10,
dass
\mathl{R^G \subseteq R}{} eine
\definitionsverweis {endliche Abbildung}{}{}
ist.
\inputbemerkung
{}
{
Das \stichwort {14. Hilbertsche Problem} {} ist die Frage, ob für jede Gruppenoperation auf einer endlich erzeugten $K$-Algebra auch der Invariantenring $R^G$ endlich erzeugt ist. Es wurde von Hilbert 1900 auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris als eines seiner 23 mathematischen Probleme vorgestellt und in den späten Fünfzigern durch ein Gegenbeispiel von Masayoshi Nagata negativ beantwortet.
}
\zwischenueberschrift{Der Satz von Hilbert}
Wir geben einen weiteren Beweis für den Endlichkeitssatz unter der Voraussetzung, dass der Invariantenring ein direkter Summand ist. Die dabei operierende Gruppe muss nicht endlich sein. Die Voraussetzung, dass es einen Reynolds-Operator gibt, ist für endliche Gruppen erfüllt, wenn ihre Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik ist. Sie ist ferner für die sogenannten linear-reduktiven Gruppen in Charakteristik $0$ erfüllt, also beispielsweise für die allgemeine lineare Gruppe, was wir später zeigen werden.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Eine
$\Z$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $R$ heißt
\definitionswort {positiv-graduiert}{,}
wenn $R_d=0$ für
\mathl{d <0}{} und $R_0=K$ ist.
}
Insbesondere kann man den Polynomring positiv graduieren, wenn man jeder Variablen einen positiven Grad
\mathl{\operatorname{grad} \, (X_i) =d_i \in \N_{> 0}}{} zuweist.
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Gruppenoperation/Direkter Summand/Hilbertidealerzeuger und Algebraerzeuger/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf dem
\definitionsverweis {positiv graduierten}{}{} \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} als Gruppe von
\definitionsverweis {homogenen Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Es sei $I_G$ das von allen homogenen
\definitionsverweis {Invarianten}{}{}
positiven Grades
\definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} und es sei
\mathl{f_1 , \ldots , f_m}{} ein homogenes
\definitionsverweis {Ideal\-erzeugendensystem}{}{} dieses Ideals.}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener
\definitionsverweis {direkter Summand}{}{}
des Polynomringes ist.}
\faktfolgerung {Dann bilden die
\mathl{f_1 , \ldots , f_m}{} ein
\definitionsverweis {Algebraerzeugendensystem}{}{}
des
\definitionsverweis {Invariantenringes}{}{,}
d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[X_1 , \ldots , X_n]^G
}
{ =} { K[f_1 , \ldots , f_m]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der Homogenität der Operation ist der Invariantenring selbst
\definitionsverweis {positiv graduiert}{}{.}
Wir beweisen die Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X_1 , \ldots , X_n]^G
}
{ \subseteq} { K[f_1 , \ldots , f_m]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} durch Induktion über den Grad. Wir betrachten also ein homogenes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von positivem Grad. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ I_G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { \sum_{j = 1}^m h_j f_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit homogenen Elementen $h_j$ von einem Grad
\mathl{< \operatorname{grad} \, (f)}{} schreiben. Der Reynolds-Operator
\maabbdisp {\rho} {K[X_1 , \ldots , X_n] } { K[X_1 , \ldots , X_n]^G
} {,}
angewendet auf diese Gleichung, liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \rho(f)
}
{ =} { \rho { \left( \sum_{j = 1}^m h_j f_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^m \rho { \left( h_j \right) } f_j
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist der Grad der
\mathl{\rho (h_j)}{} gleich dem Grad der $h_j$ und somit kleiner als der Grad von $f$ und sie gehören zum Invariantenring, sodass die
\mathl{\rho (h_j)}{} nach Induktionsvoraussetzung in der von den $f_j$ erzeugten Algebra liegen.
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Gruppenoperation/Direkter Summand/Endlich erzeugt/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf dem
\definitionsverweis {positiv graduierten}{}{} \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} als Gruppe von
\definitionsverweis {homogenen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener
\definitionsverweis {direkter Summand}{}{}
des Polynomringes ist.}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $I_G$ das von allen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}
Aufgrund des
Hilbertschen Basissatzes
besitzt $I_G$ ein endliches
\definitionsverweis {Idealerzeugendensystem}{}{.}
Daher folgt die Aussage aus
Lemma 12.6.
\zwischenueberschrift{Faktorialität der Invariantenringe}
Während Invariantenringe unter schwachen Voraussetzungen normal sind, ist die Faktorialität eher eine seltene Eigenschaft. In
Beispiel 7.13
haben wir eine lineare Operation einer zyklischen Gruppe
\mathl{\Z/(n)}{} auf $K[U,V]$ kennengelernt, deren Invariantenring gleich
\mathl{K[X,Y,Z]/(XY-Z^n)}{} ist. Die Gleichung
\mathl{XY=Z^n}{} zeigt, dass eine zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen in irreduzible Elemente vorliegt. Dieser Invariantenring ist also nicht fakoriell.
\inputfaktbeweis
{Invariantenring/Endliche Gruppe/Kein Charakter in den Einheiten/Faktoriell/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{}
und es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,}
die auf $R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
zu $G$ mit Werten in der Einheitengruppe $R^{\times}$ sei trivial, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom} \left( G , R^{\times} \right)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
faktoriell.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir zeigen, dass
\mathbed {F \in R^G} {}
{F \neq 0} {}
{} {} {} {,} eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in
\definitionsverweis {irreduzible Faktoren}{}{}
besitzt. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {F_1^{r_1} \cdots F_n^{r_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Zerlegung in $R$ in irreduzible Faktoren, wobei die $F_i$ paarweise nicht
\zusatzklammer {in $R$} {} {}
\definitionsverweis {assoziiert}{}{} seien. Für jedes
\mathl{\sigma \in G}{} ist dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { F\sigma
}
{ =} { { \left( F_1 \sigma \right) }^{r_1} \cdots { \left( F_n \sigma \right) }^{r_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Faktorialität von $R$ muss diese Zerlegung mit der ursprünglichen Faktorzerlegung übereinstimmen, d.h. zu jedem $i$ gibt es ein $j$ und eine Einheit
\mathl{a_{ij} \in R^{\times}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_i \sigma
}
{ =} {a_{ij} F_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\{1 , \ldots , n\}
}
{ =} { \biguplus_{j\in J} I_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} die disjunkte Zerlegung der Indexmenge, bei der zwei Indizes
\mathl{i,j}{} in der gleichen Teilmenge landen, wenn es ein
\mathl{\sigma \in G}{} gibt derart, dass
\mathkor {} {F_i \sigma} {und} {F_j} {} assoziiert sind. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_j
}
{ \defeq} {\prod_{i \in I_j} F_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \prod_{j \in J} H_j^{r_j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_j \sigma
}
{ =} { { \left( \prod_{i \in I_j} F_i \right) } \sigma
}
{ =} { \prod_{i \in I_j} { \left( F_i \sigma \right) }
}
{ =} { a_j(\sigma) \prod_{i \in I_j} F_i
}
{ =} {a_j(\sigma) H_j
}
}
{}{}{}
mit einer
\zusatzklammer {von $\sigma$ abhängigen} {} {} Einheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_j(\sigma)
}
{ =} { { \frac{ H_j \sigma }{ H_j } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
An dieser letzten Darstellung sieht man, dass die Zuordnung
\maabbele {} {G} { R^{\times}
} {\sigma} { a_j(\sigma)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Charakter}{}{} ist. Nach Voraussetzung ist dieser also trivial, und damit sind die $H_j$ invariant. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \prod_{j \in J} H_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} eine Faktorzerlegung in $R^G$. Die $H_j$ sind dabei irreduzibel in $R^G$, da eine Faktorzerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{AB
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} sofort zu einer Zerlegung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_j
}
{ = }{ \prod_{i \in I_j} F_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in Teilprodukte führt, die aber wegend er Wahl der $I_j$ nicht invariant sein können. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ \prod_\ell A_\ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine beliebige Zerlegung von $F$ in irreduzible Faktoren
\mathl{A_\ell \in R^G}{} ist, so sind die $A_\ell$, aufgefasst in $R$, Produkte gewisser $F_i$, und wegen der Wahl der $I_j$ wird $A_\ell$ sogar von einem $H_j$
\zusatzklammer {in $R$ und in $R^G$} {} {}
geteilt. Es liegt also eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren vor und damit ist
nach Lemma 11.13 (2)
faktoriell.
\inputfaktbeweis
{Invariantenring/Endliche Gruppe auf Polynomring/Kein Charakter/Faktoriell/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,}
die auf $R$ als Gruppe von
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{}
operiere.}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
$G^{ \vee }$ sei trivial.}
\faktfolgerung {Dann ist auch der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
faktoriell.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 12.8.
Das Beispiel der symmetrischen Gruppe zusammen mit dem nichttrivialen Signumscharakter, wo der Invariantenring ein Polynomring ist, zeigt, dass die Bedingung des vorstehenden Satzes nicht notwendig für die Faktorialität des Invariantenringes ist.
\zwischenueberschrift{Die Krulldimension}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Eine Kette aus
\definitionsverweis {Primidealen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_0
}
{ \subset} { {\mathfrak p}_1
}
{ \subset} { \ldots
}
{ \subset} { {\mathfrak p}_n
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nennt man \definitionswort {Primidealkette der Länge}{} $n$
\zusatzklammer {es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale} {} {.}
Die \definitionswort {Dimension}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Krulldimension}{}} {} {}
von $R$ ist das
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{dim} { \left( R \right) }}{} bezeichnet.
}
Wir werden hier die Dimensionstheorie nicht systematisch entwickeln. Ohne Beweis teilen wir das folgende Ergebnis mit.
\inputfakt{Krulldimension/Dimension des Polynomringes/Noetherscher Ring/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{} $d$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{R[X]}{} die Dimension
\mathl{d+1}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Insbesondere ist die Dimension des Polynomringes
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} über einem Körper $K$ gleich $n$. Wir werden bald, ausgehend von der Ganzheit über dem Invariantenring, sehen, dass der Invariantenring dimensionsgleich zum Ausgangsring ist.
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