Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 22/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass diese Erweiterung genau dann normal ist, wenn die normale Hülle gleich ${}L$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die normale Hülle der Körpererweiterung ${}K\subseteq K[X]/(F)$ gleich dem Zerfällungskörper von ${}F$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine auflösbare Körpererweiterung. Es sei ${}K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung und es sei ${}L'=LK'$ das Kompositum von ${}L$ und ${}K'$ (das in einem gewissen Oberkörper gebildet sei). Zeige, dass auch ${}K'\subseteq L'$ auflösbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P,F\in K[X]$ nichtkonstante Polynome. Wir setzen ${}Q=P(F)$ (in ${}P$ wird also das Polynom ${}F$ eingesetzt). Zeige, dass man den Zerfällungskörper von ${}P$ in den Zerfällungskörper von ${}Q$ einbetten kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P\in K[X]$ ein auflösbares Polynom. Zeige, dass auch ${}P(X^{n})$ auflösbar ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ ein Polynom vom Grad ${}3$. Zeige mit Mitteln der Galoistheorie, dass ${}P$ auflösbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ ein Polynom vom Grad ${}3$. Setze die Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$, die sich aus der Cardanoschen Formel ergeben, mit den Körpererweiterungen in Beziehung, die sich aus der Galoistheorie über Satz 22.6 ergeben.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen Körper ${}K$ und zerfallende Polynome ${}F,G\in K[X]$ derart, dass die Einsetzung ${}F(G)$ nicht zerfällt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine ungerade Zahl. Man gebe eine Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ vom Grad ${}n$ derart, dass ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )$ trivial ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$ auflösbare Körpererweiterungen. Zeige, dass auch ${}K\subseteq M$ auflösbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}F$ und ${}G$ auflösbare Polynome über einem Körper ${}K$. Zeige, dass das Produkt ${}FG$ ebenfalls auflösbar ist.

Aufgabe (8 (5+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ein reguläres ${}n$-Eck ($n\geq 3$) mit den Eckpunkten ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$, und es sei ${}V$ der von diesen Eckpunkten erzeugte ${}\mathbb {Q}$- Vektorraum.

a) Zeige die Abschätzungen

${}\varphi (n)\leq \dim _{\mathbb {Q} }{\left(V\right)}\leq \varphi (n)+1\,.$

(Dabei bezeichnet ${}\varphi (n)$ die eulersche ${}\varphi$-Funktion).

b) Zeige, dass in (a) sowohl links als auch rechts Gleichheit gelten kann.