Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 8

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}f\in L$. Zeige, dass die Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto fx,$

${}K$- linear ist.

Aufgabe

Wir betrachten die endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$. Beschreibe die Matrix der Multiplikationsabbildung zu ${}7+5{\mathrm {i} }$ bezüglich der reellen Basis ${}1,{\mathrm {i} }$ von ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Wir betrachten die quadratische Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]=L$. Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu ${}-4+9{\sqrt {3}}$ bezüglich der ${}\mathbb {Q}$- Basis ${}1,{\sqrt {3}}$ von ${}L$.

Aufgabe

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element ${}7x^{2}-4x+5$ in der kubischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-6X^{2}+5X-8\right)}\,.$

Aufgabe *

Es seien ${}p,q$ verschiedene Primzahlen und

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]=:L\,$

die zugehörige Körpererweiterung. Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element ${}a+b{\sqrt {p}}+c{\sqrt {q}}+d{\sqrt {pq}}\in L$ bezüglich der Basis ${}1,{\sqrt {p}},{\sqrt {q}},{\sqrt {pq}}$.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Abbildung

$L\longrightarrow \operatorname {End} _{K}\,(L),\,f\longmapsto \mu _{f},$

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq M\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei ${}f\in M$ und ${}B$ die beschreibende Matrix der Multiplikationsabbildung ${}\mu _{f}\colon M\rightarrow M$ bezüglich einer ${}K$- Basis von ${}M$. Zeige, dass bezüglich einer geeigneten ${}K$-Basis von ${}L$ die Multiplikationsabbildung ${}\mu _{f}\colon L\rightarrow L$ durch eine Blockmatrix der Form

${\begin{pmatrix}B&0&\ldots &0\\0&B&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &B\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe

Bringe für die Körpererweiterung ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$ die Konzepte Norm und Spur mit dem Betrag und dem Realteil einer komplexen Zahl in Verbindung.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm einen Gruppenhomomorphismus

$N\colon L^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,f\longmapsto N(f),$

definiert.

Aufgabe

Berechne für das Element ${}2+4x+5x^{2}$ in der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

die Norm und die Spur.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq M\subseteq L$ eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen. Zeige, dass für die Normen die Beziehung

${}N_{K}^{L}=N_{K}^{M}\circ N_{M}^{L}\,$

gilt.

Aufgabe *

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

${}\mathbb {Z} /(2)\subseteq \mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\,$

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis ${}1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ gegeben mit der zugehörigen Multiplikationsabbildung ${}\mu _{f}$. Zeige, dass das charakteristische Polynom ${}\chi _{\mu _{f}}$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms zu ${}f$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}f\in L$. Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der ${}K$- linearen Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L$

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P=X^{n}-c\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Es sei

${}f=a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L=K[X]/(P)$ vom Grad ${}n$. Zeige, dass die Spur von ${}f$ gleich ${}na_{0}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei

$L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-p\right)}$

der durch das irreduzible Polynom ${}X^{3}-p$ definierte Erweiterungskörper von ${}\mathbb {Q}$. Es sei

$f=2+3x-4x^{2}.$

1. Finde die Matrix bezüglich der ${}\mathbb {Q}$-Basis ${}1,x,x^{2}$ von ${}L$ der durch die Multiplikation mit ${}f$ definierten ${}\mathbb {Q}$-linearen Abbildung.
2. Berechne die Norm und die Spur von ${}f$.
3. Bestimme das Minimalpolynom von ${}f$.
4. Finde das Inverse von ${}f$.
5. Berechne die Diskriminante der Basis ${}1,f,f^{2}$.

Wir erinnern an einige Eigenschaften der Spur.

Aufgabe

Zeige, dass die Definition . der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times m$-Matrix über ${}K$. Zeige

${}\operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)}=\operatorname {Spur} {\left(B\circ A\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$ mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

${}\chi _{M}=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdot (X-\lambda _{2})^{\mu _{2}}{\cdots }(X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\,.$

Zeige, dass

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei

$M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$

eine Matrix mit ${}n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Spur von ${}M$ die Summe der Eigenwerte ist.

Aufgabe

Berechne die Diskriminante zur Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,$

zur Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ und zur Basis ${}2-5{\mathrm {i} }$ und ${}4+7{\mathrm {i} }$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine ${}K$- Basis von ${}L$. Zeige, dass dann

${}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\neq 0\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element ${}7x^{2}+3x-8$ in der kubischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}+9X^{2}-2X+5\right)}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

${}\mathbb {Z} /(3)\subseteq \mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}-2\right)}\,$

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis ${}1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}p$ eine Primzahl. Es sei ${}a\in K$ ein Element, das in ${}K$ keine ${}p$-te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom ${}X^{p}-a$ irreduzibel ist.

(Tipp: Betrachte die Norm zu einer geeigneten Körpererweiterung.)

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, ${}f\in L$ und ${}M=K[f]$. Zeige, dass das charakteristische Polynom der Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L$

eine Potenz des Minimalpolynoms von ${}f$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Diskriminante zur Basis ${}1,x,x^{2}$ der kubischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-5X^{2}+6X-3\right)}=:L\,.$