Kurs:Lineare Algebra/Teil I/14/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 4 | 2 | 6 | 5 | 2 | 5 | 4 | 8 | 2 | 3 | 3 | 3 | 9 | 1 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und sei ein - dimensionaler - Vektorraum. Es sei eine Aufzählung (ohne Wiederholung) der Elemente aus . Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein Erzeugendensystem von sind?
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine - Matrix und eine -Matrix und es seien
die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.
Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Basis eines dreidimensionalen - Vektorraumes .
a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.
b) Bestimme die Übergangsmatrix .
c) Bestimme die Übergangsmatrix .
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein - dimensionaler - Vektorraum und seien zwei verschiedene -dimensionale Untervektorräume von . Welche Dimension hat und welche Dimension hat ?
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und es seien und zwei - Vektorräume. Zeige, dass die Abbildung
die einer linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, linear ist.
Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und
eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu drei Möglichkeiten gibt, nämlich und .
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine reell-symmetrische - Matrix. Zeige, dass einen Eigenwert besitzt.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu gibt.
Aufgabe * (9 (2+3+4) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die reelle Matrix
a) Bestimme
für .
b) Sei
Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen und und Rekursionsformeln für diese Folgen.
c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu .
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen