Kurs:Lineare Algebra/Teil I/24/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 1 | 4 | 4 | 4 | 4 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 6 | 3 | 3 | 6 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Der Graph zu einer Abbildung .
- Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .
- Der
Orthogonalraum
zu einem
Untervektorraum
im Dualraum zu einem - Vektorraum .
- Eine diagonalisierbare
lineare Abbildung
auf einem - Vektorraum .
- Das Bidual zu einem - Vektorraum .
- Der
Fixraum
zu einem
Endomorphismus
auf einem - Vektorraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
- Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen.
- Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es seien und Mengen. Beweise die Identität
Aufgabe * (2 Punkte)
Ein Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Welches Angebot ist günstiger?
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien und quadratische Matrizen der Länge . Es gelte für und für für gewisse . Zeige, dass die Einträge des Produktes die Bedingung für erfüllen.
Aufgabe * (1 Punkt)
Erläutere, warum das Achsenkreuz im kein Untervektorraum ist
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme den Kern der linearen Abbildung
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale - Vektorräume. Zeige, dass und genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
Aufgabe * (1 Punkt)
Bestimme die Determinante zur Matrix
Aufgabe * (2 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).
- .
- .
- .
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung und seien Elemente in . Zeige, dass
ist.
Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)
Wir betrachten die Matrix
über dem Körper der rationalen Funktionen .
- Bestimme das charakteristische Polynom von .
- Bestimme, ob Eigenwerte besitzt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich seien. Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Man gebe ein Polynom an, das für unendlich viele reelle - Matrizen das Minimalpolynom ist.
Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)
Wir betrachten die Matrix
über .
a) Bestimme die jordansche Normalform von .
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
welche nicht?
Aufgabe * (4 Punkte)
Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung