Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	12	3	3	5	5	6	5	4	6	3	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Matrizenmultiplikation.
2. Der von einer Familie von Vektoren ${}v_{i},\,i\in I$, aus einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ aufgespannte Untervektorraum.
3. Die Elementarmatrizen.
4. Eine Determinantenfunktion

   $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K,$

   wobei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ ist.

5. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$.
6. Ein affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
2. Der Satz über Ideale in einem Polynomring ${}K[X]$ in einer Variablen über einem Körper ${}K$.
3. Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.

Aufgabe * (3 Punkte)

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit ${}V$ (vordere Tafel), ${}M$ (mittlere Tafel) und ${}H$ (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&3&0\\5&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Drücke die Vektoren ${}u_{1}^{*},u_{2}^{*}$ der Dualbasis zur Basis ${}u_{1}={\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}},\,u_{2}={\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis ${}e_{1}^{*},e_{2}^{*}$ aus.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ jedes Ideal ein Hauptideal ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei eine ${}n\times n$- Matrix ${}M$ über ${}K$ gegeben. Zeige, dass das Minimalpolynom ${}P\in K[X]$ mit dem Minimalpolynom zu ${}M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über ${}L$ auffasst.

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

a) Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$- Matrix, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar ist. Zeige, dass ${}M$ nilpotent ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer ${}3\times 3$- Matrix ${}M$, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Charakterisiere die nilpotenten ${}2\times 2$- Matrizen

${\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$

über ${}K$ mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen ${}x,y,z,w$.

b) Sind die Gleichungen linear?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}4&0&1\\0&4&-1\\0&0&4\end{pmatrix}}\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

a) Bestimme die jordansche Normalform von ${}M$.

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von ${}M$ in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung

${}{\begin{pmatrix}4&0&1\\0&4&-1\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

welche nicht?

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}-3&-6&-1\\0&-3&-2\\0&0&-3\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}-3&1&0\\0&-3&1\\0&0&-3\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann eine Basis von ${}V$ bildet, wenn die Familie ${}0,v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine affine Basis bildet.