Kurs:Lineare Algebra/Teil II/14/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	3	2	0	8	2	4	3	0	3	4	3	0	42

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
2. Die Höhe in einem Dreieck.
3. Ein normaler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.

4. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
5. Ein orientierter ${}\mathbb {R}$- Vektorraum.
6. Die Äquivalenz von zwei Normen ${}\Vert {-}\Vert _{1}$ und ${}\Vert {-}\Vert _{2}$ auf einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
2. Der Satz über den Abstand eines Vektors ${}v$ zu einem Untervektorraum ${}U$ in einem euklidischen Vektorraum ${}V$.
3. Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {R}$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass für ${}u,v\in V$ die Abschätzung ${}\Vert {v+u}\Vert \geq \Vert {v-u}\Vert$ genau dann gilt, wenn ${}\left\langle v,u\right\rangle \geq 0$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Kreuzprodukt

${\begin{pmatrix}3-5{\mathrm {i} }\\4+8{\mathrm {i} }\\-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-2\\-6-7{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

im ${}{\mathbb {C} }^{3}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${}{\begin{pmatrix}-6\\-5\\7\end{pmatrix}}$ und sämtlichen Untervektorräumen ${}U_{I}=\langle e_{i},\,i\in I\rangle$ zu ${}I\subseteq \{1,2,3\}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe die eulersche Gerade in einem gleichschenkligen, nicht gleichseitigen Dreieck.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere für einen zweidimensionalen Minkowski-Raum den Lichtkegel und die Menge der Beobachtervektoren und zeichne dabei eine Zukunftsrichtung aus.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das durch

${}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle ={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j,\\0\,{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

definierte Skalarprodukt auf ${}V$. Zu einer linearen Abbildung bezeichne ${}\Psi _{\varphi }$ die (über $\left\langle -,-\right\rangle$) zugehörige Sesquilinearform. Zeige, dass die Gramsche Matrix von ${}\Psi _{\varphi }$ bezüglich der Basis mit der beschreibenden Matrix von ${}\varphi$ bezüglich der Basis übereinstimmt.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten auf den komplexen Zahlen die Relation, bei der zwei Zahlen ${}z,w$ als äquivalent gelten, wenn ihre ${}17$-te Potenz übereinstimmt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Wie viele Elemente beinhalten die Äquivalenzklassen (verwende, dass es ${}17$ komplexe Zahlen mit ${}z^{17}=1$ gibt)?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.

Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Doppelpyramide der Höhe ${}5$ über dem Quadrat mit den Eckpunkten ${}(\pm 1,\pm 1)$. Wie nennt man die eigentliche Symmetriegruppe dieses Objektes? Bestimme die Matrizen bezüglich der Standardbasis, die die eigentlichen Symmetrien der Doppelpyramide beschreiben.

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde einen Eigenvektor zur Matrix

${\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}\\1-p_{1}&1-p_{2}\end{pmatrix}}$

mit

${}0\leq p_{1},p_{2}\leq 1\,$

zum Eigenwert ${}p_{1}-p_{2}$. Handelt es sich um eine Eigenverteilung?

Aufgabe (0 Punkte)