Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 12/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Aufgabe 12.1 ändern

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine invertierbare Matrix ${}M$ weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix derart, dass es ${}n\times n$-Matrizen ${}A,B$ mit ${}M\circ A=E_{n}$ und mit ${}B\circ M=E_{n}$ gibt. Zeige ${}A=B$ und dass ${}M$ invertierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}M$ und ${}N$ invertierbare ${}n\times n$- Matrizen. Zeige, dass auch ${}M\circ N$ invertierbar ist, und dass

${}(M\circ N)^{-1}=N^{-1}\circ M^{-1}\,$

gilt.

Aufgabe * Aufgabe 12.5 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von ${}K^{m}$ bilden.

Aufgabe Aufgabe 12.6 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix mit Einträgen in ${}K$. Zeige, dass die Multiplikation mit ${}m\times m$- Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung haben.

1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Überführe die Matrixgleichung

   ${}{\begin{pmatrix}3&7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ und ${}A={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$ Matrizen über einem Körper ${}K$ mit

${}A\circ M={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

Zeige  direkt, dass dann auch

${}M\circ A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}2&7\\-4&9\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}1&2&3\\6&-1&-2\\0&3&7\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2+3{\mathrm {i} }&1-{\mathrm {i} }\\5-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2+5{\mathrm {i} }&1-2{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem

${}M{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}54+72{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Führe für die Matrix

${\begin{pmatrix}3&-2&5\\1&7&-4\\9&17&-2\end{pmatrix}}$

das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}4&3\\5&1\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix

${\begin{pmatrix}3&2&6\\4&1&5\\6&-1&3\end{pmatrix}}.$

Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.

Aufgabe Aufgabe 12.18 ändern

Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn es eine ${}n\times m$-Matrix ${}A$ mit ${}M\circ A=E_{m}$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$- Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Abschätzung

${}\operatorname {rang} \,A\circ B\leq {\min {\left(\operatorname {rang} \,A,\operatorname {rang} \,B,\right)}}\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}A$ eine invertierbare ${}m\times m$-Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Gleichung

${}\operatorname {rang} \,A\circ M=\operatorname {rang} \,M\,$

gilt.

Unter einer Blockmatrix versteht man eine ${}m\times n$- Matrix der Form

${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},$

wobei ${}A$ eine ${}r\times s$-Matrix, ${}B$ eine ${}r\times (n-s)$-Matrix, ${}C$ eine ${}(m-r)\times s$-Matrix und ${}D$ eine ${}(m-r)\times (n-s)$-Matrix ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Blockmatrix der Form

${}M={\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}}\,$

gegeben. Zeige, dass der Rang von ${}M$ gleich der Summe der Ränge von ${}A$ und von ${}B$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

$M={\begin{pmatrix}2&3&2\\5&0&4\\1&-2&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix

${}M={\begin{pmatrix}5+8{\mathrm {i} }&3-7{\mathrm {i} }\\2-9{\mathrm {i} }&4-5{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}3&5&-1\\4&7&2\\2&-3&6\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&k+2&k+1\\0&0&k+1&k\\-k&k+1&0&0\\k+1&-(k+2)&0&0\end{pmatrix}}$

für jedes ${}k\in K$ zu sich selbst invers ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

unter der Voraussetzung ${}ad-bc\neq 0$ durch.

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 12.28 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,$

gilt.