Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 47

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bringe die Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ mit der in Aufgabe 3.7 direkt eingeführten Gruppe in Verbindung.

Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ Elemente gibt, deren Ordnung gleich ${}n$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass es keine Untergruppe ${}F\subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)$ derart gibt, dass

$F\longrightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Bestimme die Restklassengruppe zu ${}\{1,-1\}\subset \mathbb {R} ^{\times }$.

Aufgabe

Finde in der Permutationsgruppe ${}S_{3}$ einen Normalteiler ${}N\neq 0,S_{3}$ und bestimme die zugehörige Restklassengruppe.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit dem (nach Lemma 44.12) zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.$

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von ${}\varphi$ gemäß Satz 47.8.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von ${}g$ mit dem minimalen ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

gibt, in dessen Bild das Element ${}g$ liegt.

Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.

Aufgabe

Seien ${}G,H$ und ${}F$ Gruppen und seien ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ und ${}\psi \colon G\rightarrow F$ Gruppenhomomorphismen mit ${}\psi$ surjektiv und mit ${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Bestimme den Kern des induzierten Homomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon F\longrightarrow H.$

Aufgabe

Zeige, dass für jede reelle Zahl ${}a\neq 0$ die Restklassengruppen ${}\mathbb {R} /\mathbb {Z} a$ untereinander isomorph sind.

Für die folgende Aufgabe muss man verwenden, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Faktorisierung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Definiere einen Gruppenhomomorphismus

$(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0),$

der ${}p\mapsto 1$ und alle anderen Primzahlen auf ${}0$ schickt.

Bestimme auch den Kern dieses Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe

Es seien ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ Gruppen und seien ${}N_{1}\subseteq G_{1}$ und ${}N_{2}\subseteq G_{2}$ Normalteiler. Zeige, dass ${}N_{1}\times N_{2}$ ein Normalteiler in ${}G_{1}\times G_{2}$ ist und dass eine Isomorphie

${}(G_{1}\times G_{2})/(N_{1}\times N_{2})\cong (G_{1}/N_{1})\times (G_{2}/N_{2})\,$

vorliegt.

Die folgende Aufgabe verwendet den topologischen Begriff der Dichtheit.

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ und jedem ${}\epsilon >0$ Elemente ${}t\in T$ mit

${}\vert {t-x}\vert <\epsilon \,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}H$ eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass entweder ${}H={\mathbb {Z} }a$ mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ${}a$ ist, oder aber ${}H$ dicht in ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 44.3, dass jede Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ ein Ideal ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q}$ eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe *

Es seien ${}k$ und ${}n$ ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}k$ teilt ${}n$.
2. Es ist ${}\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z} k$.
3. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).$

4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

   $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).$

Aufgabe *

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo ${}n$ genau dann ist, wenn ${}a$ und ${}n$ teilerfremd sind.

Aufgabe *

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Körper.
2. ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}n$ ist eine Primzahl.

Aufgabe

Es sei ${}C$ die Menge aller Cauchy-Folgen in ${}\mathbb {Q}$.

1. Zeige, dass ${}C$ mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring ist.
2. Zeige, dass die Teilmenge ${}N\subseteq C$, die aus allen Nullfolgen besteht, ein Ideal ist.
3. Zeige, dass ${}C/N$ ein Körper ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen mit der Produktgruppe ${}G\times H$. Zeige, dass die Gruppe ${}G\times \{e_{H}\}$ ein Normalteiler in ${}G\times H$ ist, und dass die Restklassengruppe ${}(G\times H)/G\times \{e_{H}\}$ kanonisch isomorph zu ${}H$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen. Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es eine Gruppe ${}G$ und einen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow G$

mit der Eigenschaft gibt, dass ${}r\in \mathbb {R}$ genau dann rational ist, wenn ${}\varphi (r)=0$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme sämtliche Gruppen mit vier Elementen.