Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 17/kontrolle
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein topologischer Raum, der nur aus endlich vielen Elementen bestehe. Zeige, dass kompakt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein topologischer Raum und es seien kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung kompakt ist.
Aufgabe * Aufgabe 17.3 ändern
Es sei ein kompakter Raum und es sei eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ebenfalls kompakt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen nicht überdeckungskompakt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und kompakte topologische Räume. Zeige, dass auch der Produktraum kompakt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß aus dem Satz von Heine-Borel.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten die natürlichen Zahlen und versehen sie mit der diskreten Metrik. Zeige, dass abgeschlossen und beschränkt, aber nicht überdeckungskompakt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von homöomorph zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen Intervall oder zu ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von homöomorph zu einem abgeschlossenen Intervall ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein normierter Vektorraum. Zeige, dass nicht kompakt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass ein total beschränkter metrischer Raum beschränkt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine Teilmenge eines total beschränkten metrischen Raumes wieder total beschränkt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein abgeschlossenes gleichseitiges Dreieck (gemeint ist die Fläche mit Rand) mit Seitenlänge . Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius , mit denen man überdecken kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein offenes gleichseitiges Dreieck (gemeint ist die Fläche ohne den Rand) mit Seitenlänge . Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius , mit denen man überdecken kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten den abgeschlossenen Ball
Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen , mit der man überdecken kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für einen vollständigen beschränkten metrischen Raum , der nicht total beschränkt ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine total beschränkte Teilmenge in einem metrischen Raum . Zeige, dass auch der Abschluss total beschränkt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass für eine Teilmenge die Konzepte beschränkt und total beschränkt zusammenfallen.
Aufgabe Aufgabe 17.20 ändern
Es sei ein folgenkompakter topologischer Raum. Zeige, dass eine abzählbare Basis besitzt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 17.21 ändern
Es sei ein Hausdorffraum und es sei eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei kompakt. Zeige, dass abgeschlossen in ist.
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 17.22 ändern
Es seien und topologische Räume und es sei
eine stetige Abbildung. Es sei kompakt. Zeige, dass das Bild ebenfalls kompakt ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Untersuche die folgenden Teilmengen auf Vollständigkeit, Beschränktheit und totale Beschränktheit.
- ,
- ,
- ,
- .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen und . Es sei kompakt. Zeige, dass gleichmäßig stetig ist.
- Die Aufgabe zum Aufgeben
Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten den offenen Ball
Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen , mit der man überdecken kann.