Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 19
- Aufwärmaufgaben
Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe *
Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion
in einem beliebigen Punkt .
Aufgabe *
Aufgabe
Aufgabe
Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.
Aufgabe
Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.
Aufgabe
Zeige, dass ein Polynom genau dann einen Grad besitzt (oder ist), wenn die -te Ableitung von das Nullpolynom ist.
Aufgabe *
Es seien
zwei differenzierbare Funktionen und sei
a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.
b) Es sei nun
Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil a).
Bei der „linearen Approximation“ von differenzierbaren Abbildungen kommen sogenannte affin-lineare Abbildungen vor.
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine Abbildung
wobei eine lineare Abbildung und ein Vektor ist, heißt affin-linear.
Aufgabe
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zeige, dass es zu zwei Vektoren genau eine affin-lineare Abbildung
gibt mit und .
Aufgabe
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die Ableitung der Funktion
wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Tangenten an den Graphen zur Funktion , die parallel zu sind.
Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)
Es sei und und es sei die Hintereinanderschaltung.
- Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
- Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
- Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
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