Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 20/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x\vert {x}\vert ,

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,

die durch

f(x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor ,{\text{ falls }}\lfloor x\rfloor {\text{ gerade}},\\\lfloor x\rfloor -x+1,{\text{ falls }}\lfloor x\rfloor {\text{ ungerade}},\end{cases}}

definiert ist. Untersuche ${}f$ in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

f\colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}-5x^{2}+4x-1.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

f\colon [-4,4]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=3x^{3}-7x^{2}+6x-3.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=4x^{3}+3x^{2}-x+2.

Finde die Punkte ${}a\in [-3,3]$ derart, dass die Steigung der Funktion in ${}a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen ${}-3$ und ${}3$ ist.

Aufgabe * Aufgabe 20.6 ändern

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

vom Grad ${}d\geq 1$ maximal ${}d-1$ lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal ${}d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd ${}f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert

\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel 20.11).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

{\frac {x^{3}-2x^{2}+x+4}{x^{2}+x}}

im Punkt ${}-1$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche ${}1000m^{2}$ angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {2x-3}{5x^{2}-3x+4}},

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

{}f(x)=x^{3}+x-1\,.

a) Zeige, dass die Funktion ${}f$ im reellen Intervall ${}[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl ${}q\in [0,1]$ derart an, dass ${}\vert {f(q)}\vert \leq {\frac {1}{10}}$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert von

{\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}

im Punkt ${}1$ , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom, ${}a\in \mathbb {R}$ und ${}n\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass ${}P$ genau dann ein Vielfaches von ${}(X-a)^{n}$ ist, wenn ${}a$ eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ${}P,P^{\prime },P^{\prime \prime },\ldots ,P^{(n-1)}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Aus einem Blatt Papier der Seitenlängen ${}20$ cm und ${}30$ cm soll eine Schachtel (ohne Deckel) mit möglichst großem Volumen gebastelt werden, indem ringsherum ein Rand hochgefaltet wird (die überlappenden Eckränder werden verklebt). Mit welcher Randbreite (=Schachtelhöhe) erreicht man das maximale Volumen?