Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 29/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

{}y'=-{\frac {y}{t}}\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

{}y'={\frac {y}{t^{2}}}\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

{}y'=e^{t}y\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

{}y'=y+7\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

y'=y+{\frac {\sinh t}{\cosh ^{2}t}}.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die ${}f$ eine Lösung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

{}y'=g(t)y\,

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion ${}g$ und es sei ${}y$ eine differenzierbare Lösung.

a) Zeige, dass ${}y$ ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.

b) Es sei ${}y(t_{0})=0$ für einen Zeitpunkt ${}t_{0}$ . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 19.17, dass ${}y^{(n)}(t_{0})=0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ( $t\in \mathbb {R} _{+}$ )

y'={\frac {y}{t}}.

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ( $t\in \mathbb {R} _{+}$ )

y'={\frac {y}{t}}+t^{7}.

c) Löse das Anfangswertproblem

y'={\frac {y}{t}}+t^{7}{\text{ und }}y(1)=5.

Die folgende Aussage nennt man das Superpositionsprinzip für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

g,h_{1},h_{2}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

Funktionen. Es sei ${}y_{1}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}y'=g(t)y+h_{1}(t)$ und es sei ${}y_{2}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}y'=g(t)y+h_{2}(t)$ . Zeige, dass dann ${}y_{1}+y_{2}$ eine Lösung der Differentialgleichung