Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 31



Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Süddeutsche Zeitung schrieb am 10.3.2020 unter dem Titel „Die Wucht der großen Zahl“ (von Christian Endt, Michael Mainka und Sören Müller-Hansen):

„Um zu verstehen, warum das neue Coronavirus so gefährlich ist, muss man sich klarmachen, was exponentielles Wachstum bedeutet. Der Begriff ist etwas sperrig, das Konzept dahinter aber einfach. Es geht um eine Vermehrung, die sich ständig selbst beschleunigt. Und dieses Muster lässt sich auch beim Coronavirus erkennen. Das ist der Hintergrund, warum nun immer strengere Auflagen verhängt werden, Fußballspiele ohne Publikum ausgetragen, Feste und Kongresse abgesagt werden. Und warum Gesundheitsminister Jens Spahn, Kanzlerin Angela Merkel und andere davon sprechen, man müsse die Ausbreitung des Virus verlangsamen. Sprich: Verhindern, dass es sich exponentiell verbreitet.“

  1. Beschleunigt sich lineares Wachstum „ständig selbst“?
  2. Beschleunigt sich quadratisches Wachstum wie bei der Funktion „ständig selbst“?
  3. Wie kann man exponentielles Wachstum charakterisieren?
  4. Wenn man exponentielles Wachstum „verlangsamen“ möchte, verhindert man dann exponentielles Wachstum oder ändert man Parameter (welche?) für exponentielles Wachstum?


Aufgabe *

  1. Es sei und die Exponentialfunktion zur Basis . Zeige, dass es ein mit für alle gibt.
  2. Es sei vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion mit und mit

    für alle gibt.

  3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion mit für alle , die keine Exponentialfunktion ist.


Aufgabe

Bestimme, für welche die Differentialgleichung mit Verzögerung

eine Lösung der Form

besitzt.


Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen und zeitunabhängig ist, d.h. dass konstant ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.


Aufgabe

Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.


Aufgabe

Wie sieht der Graph einer Abbildung

aus, die nur von einer Variablen abhängt.


Aufgabe

Es sei ein Intervall und es sei

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung

eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.


Aufgabe

Es sei

die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung


Aufgabe

Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit .

Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu Beispiel 31.14.

Aufgabe

Zeige, dass () eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

auf ist.


Aufgabe *

a) Es sei

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. für alle . Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

injektiv ist.

b) Sei nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.


Aufgabe

Finde eine differenzierbare Funktion (nicht die Nullfunktion), die die Bedingung

erfüllt (dabei ist als der Wert der Funktion an der Stelle zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen mit ; es handelt sich also nicht um eine Differentialgleichung).




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe (3 Punkte)

Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

auf mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es zu jedem unendlich oft differenzierbare Funktionen

derart gibt, dass die -te Ableitung mit übereinstimmt, die Ableitungen , , aber nicht.

Denke an Potenzreihen.


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