- Übungsaufgaben
Bestimme das Minimum der Funktion
-

in Abhängigkeit von
und
.
Was hat dies mit
partiellen Ableitungen
zu tun?
Bestimme die
partiellen Ableitungen
der Funktion
-
Bestimme die
partiellen Ableitungen
der Funktion
-
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
-
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
-
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
-
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
-
in jedem Punkt.
Beschreibe die Abbildung
-
in reellen Koordinaten und bestimme die
Jacobi-Matrix.
Ebenso für
.
Die komplexen Zahlen
können wir mit
identifizieren, indem der Realteil und der Imaginärteil jeweils als eine Koordinate im
interpretiert wird.
Dies ist genau das, was gemacht wird, wenn wir uns die komplexen Zahlen als komplexe Zahlenebene vorstellen. Eine komplexe Zahl
mit imaginärer Einheit
, Realteil
und Imaginärteil
entspricht dem Punkt
.
Die gegebene Abbildung, die von
nach
geht, in reellen Koordinaten zu beschreiben heißt nun, die entsprechende Abbildung von der komplexen Zahlenebene in die komplexe Zahlenebene anzugeben, also von
nach
.
Zu
ist wegen oben klar, gehört der Punkt
. Jetzt brauchen wir noch den Punkt, den wir nach Anwenden der Abbildung erhalten. Dazu setzen wir
in der Form
ein. Dann wird es abgebildet auf
-
Dies ist einfach die binomische Formel, nur muss man aufpassen, dass
ist.
Der Realteil dieser komplexen Zahl ist
und ihr Imaginärteil ist
. Dadurch wird die Abbildung in reellen Koordinaten zu
-
In jeder Komponente der Abbildung steht ein Polynom, weshalb diese partiell integrierbar sind (alle partiellen Ableitungen existieren in allen Punkten).
Die Jacobi-Matrix erhalten wir nun durch Berechnung der partiellen Ableitungen in
- und
-Richtung. In der ersten Spalte stehen die Komponenten der Funktion nach
abgeleitet und in der zweiten Spalte die nach
abgeleitet.
Wir erhalten im Punkt
die Jacobi-Matrix
-
Der Rest der Aufgabe geht dann ähnlich.
Diskutieren und Fragen
Bestimme sämtliche
höheren Richtungsableitungen
der Abbildung
-
die sich mit den beiden Standardrichtungen
und
ausdrücken lassen.
Es sei
-

Zeige, dass
die Wärmeleitungsgleichung
-

erfüllt.
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion
-
die im Nullpunkt
partiell differenzierbar
ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die
Richtungsableitung
in keine Richtung
mit
existiert.
In der folgenden Aufgabe ist
-

Die partiellen Ableitungen im komplexen Fall sind wie im reellen Fall zu bestimmen, man verwende die gleichen Regeln für Polynome.
Es seien
zwei komplexe
(bzw. reelle)
Polynome und
-
die zugehörige Abbildung. Die
Determinante
der
Jacobi-Matrix
zu
sei in jedem Punkt
von
verschieden.
- Zeige, dass bei
die Determinante konstant ist.
- Zeige durch ein Beispiel, dass bei
die Determinante nicht konstant sein muss.
Zeige für Polynomfunktionen
-
direkt, dass
-

gilt.
Zeige, dass keine
partiell differenzierbare Funktion
-
existiert, so dass
-
für alle
gilt.
Auf den ersten Blick scheint die Aufgabe recht schwierig zu sein. Es ist kaum vorstellbar, dass es unter allen Funktionen
-
nicht doch irgendeine komplizierte Funktion gibt, die die gegebenen partiellen Ableitungen besitzt. Aber deshalb sollten wir nicht aufgeben und uns auf die gegebenen Informationen konzentrieren. Die partiellen Ableitungen sind besondere Funktionen, die uns häufig begegnen. Mit den Werkzeugen aus der Vorlesung öffnet sich uns dadurch der Weg, die Aussage indirekt zu beweisen.
Diskutieren und Fragen
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
-
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
-
Berechne die
Richtungsableitung
dieser Abbildung in einem Punkt
in Richtung
. Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor
anwendet.
Zeige, dass keine
partiell differenzierbare Funktion
-
existiert, so dass
-
für alle
gilt.
Es sei
-
eine zweimal
stetig differenzierbare Funktion,
für die in jedem Punkt
-

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen
-
derart gibt, dass
-

gilt.
Zeige, dass die Funktion
-
mit
-
zweimal
partiell differenzierbar ist, und dass
-

gilt.