Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 57

Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere die Höhenlinien und das Gradientenfeld zur Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2(x-3)^{2}+3(y-1)^{2}.$

Aufgabe

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(m,l)\longmapsto {\frac {m}{l^{2}}},$

berechnet, wobei ${}m$ für die Masse und ${}l$ für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).

1. Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
2. Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
3. Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
4. Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
5. Berechne die Hesse-Matrix von ${}\varphi$ und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
6. Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf ${}[30,300]\times [1,2]$ einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
7. Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ${}T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.

Aufgabe

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein kritischer Punkt zu ${}h$. Wie sieht die Lösung des Anfangswertproblems

${}v(0)=P\,$

zum zugehörigen Gradientenfeld ${}\operatorname {Grad} \,h(P)$ aus?

Aufgabe *

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

${}v'=\operatorname {Grad} \,h(v)\,$

mit ${}v(0)=w$ ($w\in \mathbb {R} ^{2}$) zum Gradientenfeld zur Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Aufgabe

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

${}v'=\operatorname {Grad} \,h(v)\,$

mit ${}v(0)=w$ ($w\in \mathbb {R} ^{3}$) zum Gradientenfeld zur Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}-y^{2}+3yz.$

Aufgabe

Berechne die ersten drei Iterationen der Picard-Lindelöf-Iteration zum Anfangswertproblem

$v'=\operatorname {Grad} \,h(v){\text{ und }}v(0)=\left(3,\,2\right)$

zu

${}h(x,y)=x^{3}-xy^{2}+y^{2}\,.$

Aufgabe *

Sei

$G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein Gradientenfeld und sei

$\varphi \colon J\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

(${}J\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=G(v)$. Es gelte ${}\varphi '(t)\neq 0$ für alle ${}t\in J$. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe *

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und

${}G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser ${}F$ zu ${}h$ zu zwei verschiedenen Zeitpunkten ${}t_{0}<t_{1}$ trifft. Zeige, dass ${}\varphi {|}_{[t_{0},t_{1}]}$ konstant ist.

Aufgabe *

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und

${}G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei ${}t\in \mathbb {R}$ ein Zeitpunkt mit

${}\varphi '(t)=0\,.$

a) Es sei ${}h$ zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass ${}\varphi$ konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) ${}\varphi$ nicht konstant sein muss.

Aufgabe

Es sei

${}M={\left\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} \mid {\text{unendlich oft differenzierbar}}\right\}}\,,$

versehen mit der durch die Supremumsnorm gegebene Metrik. Zeige, dass die Ableitung

$M\longrightarrow M,\,f\longmapsto f',$

keine starke Kontraktion ist.

Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?

Aufgabe

Betrachte zu ${}r,s\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}r+s>1$ und ${}s<r+1$ die „sichelförmige“ Menge

$M_{r,s}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r,\,{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}\geq s\right\}}.$

Für welche ${}r,s$ ist diese Menge sternförmig?

Aufgabe

Zeige, dass eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ zusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ genau dann ein (nichtleeres) Intervall ist, wenn ${}T$ sternförmig ist.

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{k}$ ($k\geq 1$) endlich viele Punkte im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\}$ nicht sternförmig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine offene, sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

Aufgabe

Überprüfe, ob das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {-2x^{2}+2y^{4}}{{\left(x^{2}+y^{4}\right)}^{2}}},\,{\frac {8xy^{3}}{{\left(x^{2}+y^{4}\right)}^{2}}}\right),$

die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.

Aufgabe

Überprüfe, ob das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {-2x^{2}+2y^{4}}{{\left(x^{3}+y^{3}\right)}^{2}}},\,{\frac {8xy^{3}}{{\left(x^{3}+y^{3}\right)}^{2}}}\right),$

die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.

Aufgabe

Zeige, dass das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(2x-y\cos x,\,-\sin x\right),$

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.

Ob ein Vektorfeld auf ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.

Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ nennt man

$\operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}(P):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{2}}}(P)-{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{3}}}(P)\\{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{3}}}(P)-{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{1}}}(P)\\{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{1}}}(P)-{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{2}}}(P)\end{pmatrix}}$

die Rotation von ${}G$.

Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

Aufgabe

Es sei

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$. Zeige, dass ${}G$ genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ${}\operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}=0$ ist.

Aufgabe

Berechne zum Vektorfeld

$G\colon {\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x,y,z\neq 0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{3}-z^{2},\,{\frac {xy}{z}},\,{\frac {z}{x^{2}y}}\right)$

die Rotation.

Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

${}G(x,y)=(y,-x^{3})\,$

Zeige auf zweifache Weise, dass ${}G$ kein Gradientenfeld ist.

1. Mit der Integrabilitätsbedingung.
2. Mit Wegintegralen.

Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(y-\cos \left(x+z\right),\,x,\,2z-\cos \left(x+z\right)\right).$

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ${}G$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu ${}G$.

Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(ye^{xy}+\ln z,\,xe^{xy}-2yz,\,{\frac {x}{z}}-y^{2}\right).$

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ${}G$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu ${}G$.

Aufgabe *

Es sei

$F\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge

${}G\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$

und es sei

${}\rho (P):={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P)\,.$

Zeige

${}\rho (P)={\frac {1}{\pi }}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\int _{\gamma _{\epsilon }}F\,,$

wobei ${}\gamma _{\epsilon }$ den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um ${}P$ mit Radius ${}\epsilon$ bezeichnet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto 3v^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{v^{2}}}.$

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung, die zum Gradientenfeld der Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y^{2},$

gehört.

Aufgabe (3 Punkte)

Welche linearen Vektorfelder

$G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto Mv,$

sind Gradientenfelder? Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

der Subgraph und ob der Epigraph sternförmig ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine sternförmige Teilmenge. Zeige, dass auch der Abschluss ${}{\overline {T}}$ sternförmig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(ye^{z}-3x^{2}z,\,xe^{z}+2yz,\,xye^{z}+y^{2}-x^{3}\right),$

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne zum Vektorfeld

$G\colon {\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x,y\neq 0,\,z>0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left({\frac {e^{3x}-z}{y}},\,{\frac {\cos x}{z^{2}}},\,{\frac {\ln z}{xy}}\right)$

die Rotation.