- Übungsaufgaben
Skizziere die
Höhenlinien
und das
Gradientenfeld
zur Funktion
-
Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die
Abbildung
-
berechnet, wobei
für die Masse und
für die Länge eines Menschen
(oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht
(in den Einheiten Kilogramm und Meter).
- Für welche Punkte ist diese Abbildung
regulär?
- Skizziere das zugehörige
Gradientenfeld.
- Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem
Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
- Wie lassen sich die
Fasern dieser Abbildung als
Graphen von Funktionen beschreiben?
- Berechne die
Hesse-Matrix von
und bestimme ihren
Typ in jedem Punkt.
- Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf
einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
- Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge
ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen,
Produktabbildung und
Hintereinanderschaltung.
Berechne die ersten drei Iterationen der
Picard-Lindelöf-Iteration
zum Anfangswertproblem
-
zu
-

Es sei
-
eine
stetig differenzierbare Funktion
und
-

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
-
eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei
ein Zeitpunkt mit
-

a) Es sei
zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass
konstant ist.
b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a)
nicht konstant sein muss.
Es sei
-
![{\displaystyle {}M={\left\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} \mid {\text{unendlich oft differenzierbar}}\right\}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e7ddeb51339db452d666aa7428e4d9053b0462)
versehen mit der durch die
Supremumsnorm
gegebene Metrik. Zeige, dass die
Ableitung
-
keine
starke Kontraktion
ist.
Betrachte zu
mit
und
die „sichelförmige“ Menge
-
Für welche
ist diese Menge
sternförmig?
Man gebe ein Beispiel für eine
sternförmige
Teilmenge
an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
Man gebe ein Beispiel für eine
offene,
sternförmige
Teilmenge
an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
Überprüfe, ob das
Vektorfeld
-
die
Integrabilitätsbedingung
erfüllt oder nicht.
Überprüfe, ob das
Vektorfeld
-
die
Integrabilitätsbedingung
erfüllt oder nicht.
Zeige, dass das
Vektorfeld
-
ein
Gradientenfeld ist und bestimme ein
Potential
dazu.
Ob ein Vektorfeld auf
die
Integrabilitätsbedingung
erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.
Zu einem
partiell differenzierbaren
Vektorfeld
-
auf einer
offenen Teilmenge
nennt man
-
die
Rotation
von
.
Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.
Berechne zum
Vektorfeld
-
die
Rotation.
Wir betrachten das Vektorfeld
-
mit
-

Zeige auf zweifache Weise, dass
kein Gradientenfeld ist.
- Mit der Integrabilitätsbedingung.
- Mit Wegintegralen.
Wir betrachten das
Vektorfeld
-
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass
ein
Gradientenfeld ist.
b) Bestimme ein
Potential
zu
.
Wir betrachten das
Vektorfeld
-
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass
ein
Gradientenfeld ist.
b) Bestimme ein
Potential
zu
.
Es sei
-
ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge
-

und es sei
-

Zeige
-

wobei
den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um
mit Radius
bezeichnet.
- Aufgaben zum Abgeben
Es sei
-
eine
Linearform.
Bestimme das zugehörige
Gradientenfeld
und die
Lösungen
der zugehörigen Differentialgleichung.
Welche
linearen Vektorfelder
-
sind
Gradientenfelder?
Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?
Bestimme, ob zur Funktion
-
der
Subgraph
und ob der
Epigraph sternförmig
ist.
Es sei
eine
sternförmige
Teilmenge. Zeige, dass auch der
Abschluss
sternförmig ist.
Zeige, dass das
Vektorfeld
-
ein
Gradientenfeld ist und bestimme ein
Potential
dazu.
Berechne zum
Vektorfeld
-
die
Rotation.