Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 2

Aufgaben

Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Satz 2.1 der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{k},$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten eines Polynoms ${}f$, dessen Ableitung durch

${}f'(z)={\left(z-a_{1}\right)}^{r_{1}}\cdots {\left(z-a_{m}\right)}^{r_{m}}\,$

(mit verschiedenen ${}a_{i}$) gegeben ist, in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Satz 2.1 der komplexen Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Satz 2.1 der komplexen Sinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeige, dass die Menge der Punkte ${}P\in U$, für die der lokale Exponent ${}\geq 2$ ist, diskret ist.

Aufgabe

Zeige, dass jede offene Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ eine komplexe Mannigfaltigkeit mit der Identität als einziger Karte ist.

Aufgabe

Zeige, dass jede offene Teilmenge ${}U\subseteq M$ einer komplexen Mannigfaltigkeit eine komplexe Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Betrachte Geschenkpapier. Auf welche Arten kann man das Papier zerschneiden und/oder verkleben, so, dass eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit entsteht. Sollte der Rand des Papiers dazu gehören oder nicht? Welche entstehenden Mannigfaltigkeiten sind zusammenhängend, welche kompakt? Wie entsteht ein Möbius-Band? Welche Möglichkeiten gibt es, wenn man endlich viele Ausnahmepunkte erlaubt, in denen keine Mannigfaltigkeitsstruktur vorliegt?

Wende die Theorie an, um möglichst originelle Verpackungen zu konstruieren. Verschnüre diese mit geeigneten eindimensionalen Mannigfaltigkeiten.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine zusammenhängende reelle Mannigfaltigkeit der Dimension ${}2$ und sei weiter vorausgesetzt, dass ${}M$ einen abzählbaren Atlas besitzt. Zeige, dass es eine surjektive stetige Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow M$

gibt.

(Das ist eher eine Aufgabe zur Entwicklung der Vorstellung, man denke an ein Klebeband, mit dem man einerseits die Fläche abklebt und andererseits die reelle Ebene durchläuft. Bei einer riemannschen Fläche ${}X$ gibt es im Allgemeinen keine holomorphe surjektive Abbildung ${}{\mathbb {C} }\rightarrow X$).

Aufgabe

Wir betrachten den topologischen Raum, der entsteht, wenn man zweimal ${}{\mathbb {C} }$ nimmt und die beiden ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ miteinander in natürlicher Weise identifiziert (verklebt). Zeige, dass das entstehende Objekt kein Hausdorff-Raum ist und somit auch keine komplexe Mannigfaltigkeit, obwohl es zwei Karten mit dem Kartenbild ${}{\mathbb {C} }$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Wurzelfläche zu ${}f(z)=z$ im Sinne von Korollar 2.8 in natürlicher Bijektion mit ${}{\mathbb {C} }$ selbst steht, wobei der Projektion die Quadratabbildung entspricht.

Aufgabe

Es sei ${}f(z)=z^{3}+az+b$ (mit ${}a,b\in {\mathbb {C} }$) ein kubisches Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei ${}V$ die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von Korollar 2.8. Versuche, ${}V$ (bzw. reelle Ausschnitte davon) für geeignete Parameter ${}a,b$ zu skizzieren.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und sei ${}D\subseteq X$ eine endliche Teilmenge. Zeige, dass ${}X$ genau dann zusammenhängend ist, wenn ${}X\setminus D$ zusammenhängend ist.

Die folgende Aufgabe ist für Leute gedacht, die eine algebraische Zahlentheorie gehört haben.

Aufgabe

Vergleiche die zu einem Polynom ${}f\in {\mathbb {C} }[Z]$ zugehörige Wurzelfläche ${}V={\left\{(z,w)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid w^{2}=f(z)\right\}}$ über ${}{\mathbb {C} }$ im Sinne von Korollar 2.8 mit der Spektrumsabbildung ${}\operatorname {Spek} {\left(A_{D}\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ zu einem quadratischen Zahlbereich ${}A_{D}$ zu einer quadratfreien Zahl ${}D$.