Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 31/latex
\setcounter{section}{31}
\zwischenueberschrift{Konsequenzen für meromorphe Funktionen}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Kompakt/Erste Strukturkohomologie/Hauptteilrealisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^1(X, {\mathcal O}_{ X } )
}
{ \cong} { \Gamma { \left( X, { \mathcal T } \right) } / \operatorname{bild} { \left( \Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) }\rightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal T } \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die erste
\definitionsverweis {Kohomologie}{}{}
der
\definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{}
entspricht also den globalen
\definitionsverweis {Hauptteilverteilungen}{}{}
modulo den Hauptteilverteilungen zu
\definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 18.12
haben wir die kurze exakte Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal M } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal T } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
Die zugehörige
\definitionsverweis {lange exakte Kohomologiesequenz}{}{}
enthält
\mathdisp {0 \longrightarrow {\mathbb C} \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal T } \right) } \longrightarrow H^1(X, {\mathcal O}_{ X } ) \longrightarrow H^1(X, { \mathcal M } ) \longrightarrow} { . }
Es genügt daher zu zeigen, dass die Abbildung
\maabbdisp {} {\Gamma { \left( X, { \mathcal T } \right) } } {H^1(X, {\mathcal O}_{ X } )
} {}
surjektiv ist. Nach
Aufgabe 30.13
ist für hinreichend viele Punkte $P_1 , \ldots , P_n$ die kurze exakte Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } (\sum_{i = 1 }^n P_i) \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } (\sum_{i = 1 }^n P_i) / {\mathcal O}_{ X } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
derart, dass
\maabbdisp {\delta} {H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (\sum_{i = 1 }^n P_i) / {\mathcal O}_{ X } )} { H^1(X, {\mathcal O}_{ X } )
} {}
surjektiv ist. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{ X } (\sum_{i = 1 }^n P_i)
}
{ \subseteq} { { \mathcal M }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat man einen Garbenhomomorphismus
\maabbdisp {} { {\mathcal O}_{ X } (\sum_{i = 1 }^n P_i) / {\mathcal O}_{ X } } { { \mathcal M } / {\mathcal O}_{ X } = { \mathcal T }
} {}
und der verbindende Homomorphismus faktorisiert dadurch.
{Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Funktionen/Triviale Kohomologie/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^1(X, { \mathcal M } )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 31.1. }
Eine wichtige Ergänzung zum
Residuensatz
ist die folgende Aussage.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Kompakt/Hauptteilverteilung/Differentialform/Gesamtresiduum/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal T^{(1)} } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\tau$ genau dann die Hauptteilverteilung zu einer
\definitionsverweis {meromorphen Differentialform}{}{}
auf $X$, wenn das
\definitionsverweis {Gesamtresiduum}{}{}
\mathl{\sum_{P\in X} \operatorname{Res}_{ P } \left( \tau \right)}{} gleich $0$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Hinrichtung wurde in
Satz 17.13
gezeigt, da eine die Hauptteilverteilung realisierende meromorphe Funktion außerhalb des Trägers holomorph ist. Aufgrund von
Lemma 18.15
und
Korollar 31.2,
angewendet auf ${ \mathcal M^{(1)} }$, haben wir eine exakte Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow H^0(X,\Omega_X) \longrightarrow H^0(X,{ \mathcal M^{(1)} } ) \longrightarrow H^0(X,{ \mathcal T^{(1)} }) \longrightarrow H^1(X,\Omega_X) \longrightarrow 0} { . }
Die Verteilung $\tau$ kommt genau dann von links, wenn sie unter dem verbindenden Homomorphismus nach $0$ abbildet, was wegen der Residueneigenschaft der Fall ist.
\zwischenueberschrift{Eine topologische Konsequenz}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Kompakt/Konstante Funktionen/Auflösung/Kohomologie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Auf einer
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$ vom
\definitionsverweis {Geschlecht}{}{}
$g$}
\faktfolgerung {besitzt $H^1(X, {\mathbb C} )$, wobei ${\mathbb C}$ hier die
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${\mathbb C}$ bezeichnet, die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$2g$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aus der kurzen exakten Garbensequenz
\zusatzklammer {siehe
Lemma 15.8} {} {}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathbb C} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } \, \stackrel{ d }{\longrightarrow} \, \Omega_X \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
erhält man die lange exakte Kohomologiesequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow H^0(X, {\mathbb C} ) \longrightarrow H^0(X, {\mathcal O}_{ X } ) \longrightarrow H^0(X, \Omega_X ) \stackrel{\delta}{\longrightarrow} H^1(X, {\mathbb C} ) \longrightarrow H^1(X, {\mathcal O}_{ X } ) \longrightarrow H^1(X, \Omega_X ) \stackrel{\delta}{\longrightarrow} H^2(X, {\mathbb C} ) \longrightarrow 0} { }
von
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{.}
Wegen des Zusammenhangs sind die beiden ersten Terme gleich ${\mathbb C}$. Hinten haben wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H^2(X, {\mathcal O}_{ X } )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gemäß
Bemerkung 25.8
verwendet. Ferner weiß man aus der Topologie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H^2(X, {\mathbb C} )
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
Korollar 30.6
ist
\mathl{H^1(X, \Omega_X )}{} eindimensional, es liegt also hinten auch ein Isomorphismus vor. Dies zusammen bedeutet, dass eine kurze exakte Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, H^0(X, \Omega_X) \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, H^1(X, {\mathbb C} ) \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, H^1(X, {\mathcal O}_{ X } ) \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
vorliegt. Die Räume links und rechts haben nach
Korollar 30.9
die Dimension $g$, also besitzt der Raum in der Mitte die Dimension $2g$.
\zwischenueberschrift{Die Formel von Riemann-Hurwitz}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {ETH-BIB-Von links nach rechts- Albert Einstein, Adolf Hurwitz und seine Tochter Lisbeth Hurwitz-Portrait-Portr 07389.tif} }
\end{center}
\bildtext {Ein Foto von Hurwitz mit Riemann gibt es leider nicht. Dafür haben wir eins mit Einstein und Tochter Hurwitz.} }
\bildlizenz { ETH-BIB-Von links nach rechts- Albert Einstein, Adolf Hurwitz und seine Tochter Lisbeth Hurwitz-Portrait-Portr 07389.tif } {} {ETH-Bibliothek} {Commons} {gemeinfrei} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} { Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Man nennt den
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
$R$, der für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_P
}
{ =} { \operatorname{Verz} { \left( P {{|}} \varphi(P) \right) } -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zugewiesen bekommt, den
\definitionswort {Verzweigungsdivisor}{}
von $\varphi$.
}
{Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsdivisor/Einfache Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} { Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
mit dem
\definitionsverweis {Verzweigungsdivisor}{}{}
$R$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Der Verzweigungsdivisor ist in der Tat ein
\definitionsverweis {Divisor}{}{.}
}{Es ist $\varphi$ genau in den Punkten des Trägers von $R$
\definitionsverweis {verzweigt}{}{.}
}{Wenn $\varphi$ lokal auf offenen Kreisscheiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\maabb {f} {U} {V
} {}
beschrieben wird, so ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Ordnung $R_P$ gleich der
\definitionsverweis {Nullstellenordnung}{}{}
von $f'$ in $P$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 31.1. }
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Differerentialformen/Exakte Sequenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} { Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es liegt die Untergarbenbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^* \Omega_Y
}
{ \subseteq} { \Omega_X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor.
}{Die
\definitionsverweis {Restklassengarbe}{}{}
\mathl{\Omega_X/ \varphi^* \Omega_Y}{} besitzt endlichen Träger, und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \Omega_X/ \varphi^* \Omega_Y \right) }_P
}
{ =} { {\mathbb C}^{ R_P }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_P
}
{ =} { \operatorname{Verz} { \left( P {{|}} \varphi(P) \right) } -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zwischen den
\definitionsverweis {kanonischen Divisoren}{}{}
besteht die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K_X
}
{ \sim} { \varphi^*K_Y +R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungdrei{Der Rückzug von Differentialformen liefert einen Garbenhomomorphismus
\maabbdisp {} { \varphi^* \Omega_Y} { \Omega_X
} {.}
Lokal liegt auf offenen Kreisscheiben eine Abbildung
\maabbeledisp {f} {U} {V
} {z} {f(z)= w
} {,}
vor. Die Differentialform $dw$ wird nach
\mathl{f'(z) dz}{} zurückgezogen. Da $f$ nicht konstant ist, ist $f'$ nicht die Nullfunktion. Es liegt somit lokal ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \varphi^*{\mathcal O}_{ Y } \cong {\mathcal O}_{ X } & \stackrel{ 1 \mapsto f' }{\longrightarrow} & {\mathcal O}_{ X } & \\ \!\!\!\!\! 1 \mapsto dw \downarrow & & \downarrow 1 \mapsto dz \!\!\!\!\! & \\ \varphi^*\Omega_Y & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Omega_X & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor, wobei die vertikalen Abbildungen Isomorphien sind. Da die obige Abbildung als Garbenhomomorphismus injektiv ist, gilt dies auch für die untere.
}{Es liegt insgesamt die Situation einer invertierbaren Garbe als Untergarbe einer invertierbaren Garbe vor, damit besitzt auf der kompakten riemannschen Fläche $X$ die Restklassengarbe automatisch endlichen Träger, siehe
Lemma 28.1.
In der Situation von Teil (1) wird die Restklassengarbe lokal als
\mathl{{\mathcal O}_{ X }/f' {\mathcal O}_{ X }}{} beschrieben bzw. halmweise durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( {\mathcal O}_{ X }/f' {\mathcal O}_{ X } \right) }_P
}
{ =} { {\mathcal O}_{ X, P } / f' {\mathcal O}_{ X, P }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieser Restklassenring ist ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$\operatorname{ord}_{ P } \, (f')$. Dies ist nach
Lemma 31.6
die Verzweigungsordnung von $\varphi$ in $P$ weniger $1$.
}{Dies folgt aus (2).
}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Riemann-Hurwitz-Formel} {.}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Formel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} { Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für die
\definitionsverweis {Geschlechter}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 g(X)-2
}
{ =} { \operatorname{Grad} \, (\varphi) (2g(Y)-2) + \operatorname{Grad} \, (R)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 31.7, Satz 30.10 und Lemma 19.20.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Formel/Auf projektive Gerade/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$.}
\faktfolgerung {Dann gilt zwischen dem
\definitionsverweis {Geschlecht}{}{}
von $X$, dem Grad von $\varphi$ und dem
\definitionsverweis {Verzweigungsdivisor}{}{}
$R$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(X)
}
{ =} { - \operatorname{Grad} \, (\varphi) + { \frac{ \operatorname{Grad} \, (R) }{ 2 } } + 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Satz 31.8 und Lemma 27.2.
{Projektive Gerade/Riemann-Hurwitz/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {{\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
von der
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{}
in sich.}
\faktfolgerung {Dann gilt zwischen dem Grad von $\varphi$ und dem
\definitionsverweis {Verzweigungsdivisor}{}{}
$R$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Grad} \, (R)
}
{ =} { 2 { \left( \operatorname{Grad} \, (\varphi) - 1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 31.3. }
Die folgende Aussage kann man auch mit
Aufgabe 31.7
erhalten.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Geschlechtsabschätzung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} { Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für die
\definitionsverweis {Geschlechter}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(X)
}
{ \geq} { g(Y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen der Effektivität des
\definitionsverweis {Verzweigungsdivisors}{}{}
besitzt dieser einen nichtnegativen Grad und daher folgt aus
Satz 31.8
direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 g(X)-2
}
{ \geq} { \operatorname{Grad} \, (\varphi) (2g(Y)-2)
}
{ \geq} { (2g(Y)-2)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit die Behauptung.
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Satz von Lüroth} {.}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Lüroth/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } { Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{,}
wobei $Y$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann ist $Y$ ebenfalls die projektive Gerade.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 27.2
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g { \left( {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
somit ist nach
Korollar 31.11
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g { \left( Y \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Mit
Lemma 27.3
ergibt sich wiederum, dass $Y$ biholomorph zu ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ ist.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Unverzweigte Überlagerung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} { X } { Y
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ ein Isomorphismus oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(X)
}
{ = }{ g(Y)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(X)
}
{ > }{ g(Y)
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Unverzweigt bedeutet mit
Lemma 31.6 (2),
dass der Verzweigungsdivisor trivial ist und damit insbesondere den Grad $0$ besitzt. Aus
Satz 31.8
ergibt sich die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(X)-1
}
{ =} { \operatorname{Grad} \, (\varphi) (g(Y)-1 )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies führt zu den angegebenen Möglichkeiten.
\inputbeispiel{}
{
Auf einem
\definitionsverweis {komplexen Torus}{}{}
\mathl{{\mathbb C} /\Gamma}{} ist die Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {[n]} { {\mathbb C} /\Gamma } {{\mathbb C} /\Gamma
} {[z]} {n[z]
} {,}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
vom Grad $n^2$, da jeder Punkt genau $n^2$ Bildpunkte besitzt, vergleiche
Lemma 8.14.
Ein solches Verhalten ist nach
Satz 31.8
nur bei
\definitionsverweis {Geschlecht}{}{}
$1$ möglich.
}
\inputbeispiel{}
{
Die Operation der
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$\Z/(2)$ auf der Sphäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^2
}
{ \cong }{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
bei der das nichttriviale Element antipodale Punkte ineinander überführt werden, ist
\definitionsverweis {fixpunktfrei}{}{.}
Daher liegt nach
Satz 7.10
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabbdisp {} {S^2} { S^2/ \sim
} {}
vor. Nach
Korollar 31.13
in Verbindung mit
Lemma 27.2
kann diese Operation
\zusatzklammer {also die
\definitionsverweis {Antipodenabbildung}{}{}} {} {}
nicht
\definitionsverweis {holomorph}{}{}
sein. In der Tat ist der Quotient $S^2/ \sim$ keine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{,}
sondern die nicht orientierbare reell-projektive Ebene ${\mathbb P}^{2}_{\R}$, vergleiche
Lemma 5.10.
}
\zwischenueberschrift{Hyperelliptische Kurven}
Jede kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche $X$ besitzt nach Satz 26.3 eine endliche holomorphe Abbildung \maabbdisp {\varphi} {X} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } {.} Man kann sich fragen, was dabei der minimale Grad ist, mit dem man $X$ oberhalb der projektiven Geraden realisieren kann. Grad $1$ ist nur bei einem Isomorphismus möglich, also wenn $X$ selbst die projektive Gerade ist. Riemannsche Flächen vom Geschlecht $1$ \zusatzklammer {also komplexe Tori bzw. elliptische Kurven} {} {} lassen sich durch eine endliche holomorphe Abbildung vom Grad $2$ realisieren, siehe etwa den Beweis zu Satz 26.2. Es gibt aber auch kompakte riemannsche Fläche von einem Geschlecht $\geq 2$, die sich mit Grad $2$ realisieren lassen.
\inputdefinition
{}
{
Eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} $X$ heißt \definitionswort {hyperelliptisch}{,} wenn es eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {X} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } {} vom Grad $2$ gibt und das \definitionsverweis {Geschlecht}{}{} von $X$ $\geq 2$ ist.
}
Beispiele ergeben sich aus Korollar 2.8, Lemma 9.5 und Lemma 14.13. Viele Aussagen wie auch die folgende über hyperelliptische riemannsche Flächen gelten in der Regel erst recht auch für elliptische riemannsche Flächen, entscheidend ist die Existenz der Abbildung vom Grad $2$.
{Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Verzweigungsdivisor/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {hyperelliptische}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {endlichen}{}{}
\definitionsverweis {holomorphen Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {X} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
} {}
vom Grad $2$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für das
\definitionsverweis {Geschlecht}{}{}
$g$ und den
\definitionsverweis {Verzweigungsdivisor}{}{}
$R$ von $\varphi$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Grad} \, (R)
}
{ =} { 2g+2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 31.9. }