Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 16

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe. Zeige, dass ${}A$ genau dann eine ${}R$- Algebra ist, wenn ${}A$ ein ${}R$- Modul ist, für den zusätzlich

$r(ab)=(ra)b{\text{ für alle }}r\in R,\,a,b\in A$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass ${}G$ auf genau eine Weise die Struktur eines ${}\mathbb {Z}$- Moduls trägt. Kommutative Gruppen und ${}\mathbb {Z}$-Moduln sind also äquivalente Objekte.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}(G,+,0)$ eine kommutative Gruppe. Sei

$E:=\operatorname {End} (G)=\operatorname {Hom} (G,G)$

die Menge der Gruppenhomomorphismen von ${}G$ nach ${}G$ (also die Gruppenendomorphismen auf ${}G$). Definiere auf ${}E$ eine Addition und eine Multiplikation derart, dass ${}E$ zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}(M,+,0)$ eine kommutative Gruppe und sei ${}E=\operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ der zugehörige Endomorphismenring. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass eine ${}R$-Modulstruktur auf ${}M$ äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die rationalen Zahlen ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die rationalen Zahlen ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ als kommutative Gruppe. Es sei ${}G\subseteq \mathbb {Q}$ eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${}G$ zyklisch ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}K$ ein Körper mit ${}R\subseteq K$. Zeige, dass dann auch ${}Q(R)\subseteq K$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}\neq R$ ein Ideal in ${}R$. Zeige: ${}{\mathfrak {a}}$ ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem ${}g\in R$, ${}g\not \in {\mathfrak {a}}$, ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und ein ${}r\in R$ gibt mit ${}rg+f=1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.