Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 11

Satz

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir ${}\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$. Man betrachtet die Zahl

${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}\ +1\,.$

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen ${}p_{i}$ teilbar, da bei Division von ${}N$ durch ${}p_{i}$ immer ein Rest ${}1$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von ${}N$, die es nach Fakt ***** geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.

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Eine Liste aller Primzahlen ${}\leq 100000$ findet sich hier.

Kann man weitere Aussagen darüber machen, wie viele Primzahlen es gibt? Wir werden zunächst die Frage betrachten, was man über die Reihe

$\sum _{p\in \P }{\frac {1}{p}}$

sagen kann. Dies ist also die Summe aller Kehrwerte von Primzahlen,

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\ldots .$

Bekanntlich divergiert die harmonische Reihe, also die Summe über aller Kehrwerte von positiven ganzen Zahlen. Dagegen konvergiert die Summe über alle Kehrwerte von Quadraten, es gibt also im gewissen Sinn wenig Quadrate. Für jede unendliche Teilmenge ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ist es eine interessante und meistens schwierige Frage, ob ${}\sum _{n\in M}{\frac {1}{n}}$ konvergiert oder divergiert. Für die Primzahlen werden wir das hier in Kürze beantworten. Die Beantwortung hängt eng mit der Riemannschen ${}\zeta$-Funktion zusammen. Die hier benutzten Methoden gehören zur analytischen Zahlentheorie.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

Definition

Die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion ist für ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch

${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$

definiert.

Satz

Für alle komplexen Zahlen ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert <1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$

Beweis

Dies wird in der Grundvorlesung Analysis bewiesen.

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Lemma

Es sei ${}T$ eine endliche Menge von Primzahlen und sei ${}s$ eine komplexe Zahl mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>0$. Es sei ${}M(T)$ die Menge aller natürlichen Zahlen, die sich als Produkt von Primzahlen aus ${}T$ darstellen lassen. Dann ist

${}\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n\in M(T)}{\frac {1}{n^{s}}}\,.$

Beweis

Es sei ${}T=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$. Es ist ${}{|}p^{-s}{|}<1$ nach Voraussetzung über den Realteil. Unter Verwendung der geometrischen Reihe ergibt sich

${}{\begin{aligned}\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}&={\frac {1}{1-p_{1}^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p_{k}^{-s}}}\\&=\left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{1}^{-s})^{i}\right)\cdots \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{k}^{-s})^{i}\right)\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{-s})^{i_{1}}\cdots (p_{k}^{-s})^{i_{k}}\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}})^{-s}\\&=\sum _{n\in M(T)}n^{-s}.\end{aligned}}$

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Aus dieser Aussage ergibt sich sofort ein neuer Beweis dafür, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Wenn es nämlich nur endlich viele Primzahlen gäbe, so könnte man ${}T$ als die endliche Menge aller Primzahlen ansetzen. Für ${}s=1$ stünde dann links eine reelle Zahl, und rechts würde die Summe über alle natürlichen Kehrwerte stehen. Dies ist aber die harmonische Reihe, und diese divergiert!

Satz

Es sei ${}s$ eine komplexe Zahl mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$. Dann gilt für die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion die Produktdarstellung

${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Lemma 11.4, wenn man für ${}T$ die Menge der ersten ${}k$ Primzahlen überhaupt ansetzt und dann ${}k$ gegen unendlich laufen lässt. Die Konvergenz der linken Seite, also die Wohldefiniertheit der ${}\zeta$-Funktion, sichert dabei auch die Konvergenz der rechten Seite.

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Korollar

Das unendliche Produkt

$\prod _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$

divergiert.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 11.4 für ${}s=1$. Man hat die Gleichheit

${}\prod _{p\in T_{k}}{\frac {1}{1-p^{-1}}}=\sum _{n\in M(T_{k})}{\frac {1}{n}}\,,$

wobei ${}T_{k}$ die ersten ${}k$ Primzahlen umfasse. Für ${}k\rightarrow \infty$ ergibt sich rechts die harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert. Also divergiert auch das Produkt links.

$\Box$

Wir können nun die oben formulierte Frage beantworten.

Satz

Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also

$\sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}}$

divergiert.

Beweis

Das Produkt ${}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}$ divergiert für ${}k\rightarrow \infty$ aufgrund von Korollar 11.6 und ist insbesondere unbeschränkt. Daher ist auch der natürliche Logarithmus davon unbeschränkt. Dieser ist

${}\ln {\left(\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\right)}=\sum _{i=1}^{k}\ln {\left({\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\right)}=-\sum _{i=1}^{k}\ln {\left(1-p_{i}^{-1}\right)}\,.$

Die Potenzreihenentwicklung des natürlichen Logarithmus ist

${}\ln(1-x)=-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {x^{j}}{j}}\,$

für ${}\vert {x}\vert <1$. Angewendet auf die vorstehende Situation ergibt das

${}\sum _{i=1}^{k}{\left(\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)\,.$

Für die hinteren Summanden hat man die Abschätzungen

${}\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\leq \sum _{j=2}^{\infty }{\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{j}={\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{2}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{j}\right)}={\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{2}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\leq {\frac {2}{p_{i}^{2}}}\,,$

wobei hinten wieder die geometrische Reihe benutzt wurde. Damit ist insgesamt

${}\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)\leq \sum _{i=1}^{k}{\frac {2}{p_{i}^{2}}}\leq 2\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\frac {1}{n^{2}}}\,.$

Da die Summe der reziproken Quadrate konvergiert, ist diese Gesamtsumme beschränkt. Daher ist die Summe ${}\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}$ unbeschränkt, was die Behauptung ist.

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Bemerkung  

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus ${}p$ und ${}p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind. Die ersten Beispiele sind

$(3,5),\,(5,7),\,(11,13),\,(17,19),\,(29,31),\ldots .$

Es ist ein offenes Problem der Zahlentheorie, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (was aber stark vermutet wird). Dagegen ist bekannt, dass die zugehörige Reihe, also

$\sum _{p,p+2\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p}}$

konvergiert. In diesem Sinne gibt es also, verglichen mit der Gesamtzahl der Primzahlen, wenige Primzahlzwillinge.

Die Funktion ${}\pi (x)$

Es gehört zu den schwierigsten Fragen der Zahlentheorie und der Mathematik überhaupt, die Verteilung der Primzahlen zu verstehen. Viele offene Fragen und Vermutungen beziehen sich auf Teilaspekte dieses Problems.

Einfachere Fragestellungen, die bereits die Schwierigkeit im Allgemeinen erahnen lassen, sind etwa: gibt es mehr Primzahlen unterhalb von ${}n$ als zwischen ${}n$ und ${}n^{2}$? Gibt es stets eine Primzahl zwischen ${}n$ und ${}2n$? Gibt es stets eine Primzahl zwischen ${}n^{2}$ und ${}(n+1)^{2}$?

Es ist hilfreich, folgende Funktion einzuführen, die Primzahlfunktion genannt wird.

Definition

Die für ${}x\in \mathbb {R}$ definierte Funktion

$x\longmapsto \pi (x):={\#\left({\left\{p\leq x\mid p{\text{ Primzahl}}\right\}}\right)}$

heißt Primzahlfunktion.

Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 Löwen - 1962 Brüssel)

Jacques Salomon Hadamard (1865 Versailles - 1963 Paris)

Bemerkung  

Die Primzahlfunktion zählt also, wie viele Primzahlen es unterhalb einer gewissen Schranke gibt. Sie nimmt offenbar nur natürliche Zahlen als Werte an und sie ist eine monton wachsende Treppenfunktion. Sie hat genau an den Primzahlen eine Sprungstelle. Die Frage nach der Verteilung von Primzahlen ist gleichbedeutend dazu, gute Approximationen bzw. Abschätzungen für sie durch andere, besser verstandene (analytische) Funktionen zu finden.

Ein Hauptresultat der analytischen Zahlentheorie ist der sogenannte Primzahlsatz von Hadamard und de la Vallée Pousin von 1896. Es besagt grob gesprochen, dass sich die Primzahlfunktion ${}\pi (x)$ in etwa so verhält wie ${}x/\ln(x)$, also dass der Quotient der beiden Funktionen gegen ${}1$ konvergiert. Hier tritt der natürliche Logarithmus (zur Basis ${}e$) auf. Für einige wichtige Eigenschaften des Logarithmus siehe hier.

Satz

Es gilt die asymptotische Abschätzung

${}\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$

Das heißt

${}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$

Beweis

Dies ist ein Satz der analytischen Zahlentheorie, den wir hier nicht beweisen.

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Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)

Wir erwähnen abschließend ohne Beweis noch den Satz von Dirichlet. Einzelne Spezialfälle werden in den Aufgaben besprochen.

Satz

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl und ${}a$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo ${}n$ den Rest ${}a$ haben.

Beweis

Dies ist ein Satz der analytischen Zahlentheorie, den wir im Rahmen dieser Vorlesung nicht beweisen können.

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