Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 22/latex
\setcounter{section}{22}
In dieser und der nächsten Vorlesung beweisen wir zwei Versionen zur eindeutigen Primfaktorzerlegung in Zahlbereichen, die beide Abschwächungen zur eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\Z$ sind. Die eine besagt, dass für einen Zahlbereich die eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen \anfuehrung{lokal}{} gilt \zusatzklammer {Satz 22.17 und Bemerkung 22.19} {} {.} Die zweite Version besagt, dass man auf der Ebene der Ideale eine eindeutige Faktorzerlegung in Primideale erhält \zusatzklammer {Satz 23.14} {} {.} Für die erste Version benötigen wir die Begriffe Nenneraufnahme, Lokalisierung und diskreter Bewertungsring.
\zwischenueberschrift{Nenneraufnahme}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {multiplikatives System}{,} wenn die beiden Eigenschaften
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
} {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}
gelten.
}
Es handelt sich also einfach um ein \definitionsverweis {Untermonoid}{}{} des multiplikativen Monoids eines Ringes.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Dann bilden die Potenzen
\mathbed {f^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
Dann bilden alle von $0$ verschiedenen Elemente in $R$ ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{,}
das mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R^*
}
{ = }{ R \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet wird.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein Primideal. Dann ist das Komplement
\mathl{R \setminus {\mathfrak p}}{} ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Dies folgt unmittelbar aus der Definition.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \notin }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann nennt man den Unterring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_S
}
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \in S \right\} }
}
{ \subseteq} { Q(R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Nenneraufnahme}{} zu $S$.
}
Für die Nenneraufnahme an einem Element $f$ schreibt man einfach $R_f$ statt
\mathl{R_{ { \left\{ f^n \mid n\in \N \right\} } }}{.} Man kann eine Nenneraufnahme auch dann definieren, wenn $R$ kein Integritätsbereich ist, siehe
Aufgabe 22.9.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Dann nennt man die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
an
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ R \setminus {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Lokalisierung}{} von $R$ an ${\mathfrak p}$. Man schreibt dafür $R_{\mathfrak p}$. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{\mathfrak p}
}
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \not\in {\mathfrak p} \right\} }
}
{ \subseteq} { Q(R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Für eine Primzahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht
\mathl{\Z_{(p)}}{} aus allen rationalen Zahlen, die man ohne $p$ im Nenner schreiben kann.
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {lokal}{}, wenn $R$ genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} besitzt.
}
Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn ergibt.
\inputfaktbeweis
{Integritätsbereich/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal }{}{}
in $R$. Dann ist die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
$R_{\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}R_{\mathfrak p}
}
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in {\mathfrak p} , \, g \not\in {\mathfrak p} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{\mathfrak p}
}
{ =} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \not\in {\mathfrak p} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir zeigen, dass das Komplement von
\mathl{{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}}{} nur aus Einheiten besteht, sodass es sich um ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
handeln muss. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ { \frac{ f }{ g } }
}
{ \in }{R_{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
aber nicht in
\mathl{{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}}{.} Dann sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit gehört der inverse Bruch
\mathl{{ \frac{ g }{ f } }}{} ebenfalls zur Lokalisierung.
Das Ideal
\mathl{{\mathfrak p}R_{\mathfrak p}}{} ist dabei das
\definitionsverweis {Erweiterungsideal}{}{}
zu ${\mathfrak p}$ unter dem Ringhomomorphismus
\maabb {} {R} {R_{\mathfrak p}
} {.}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Lokalisierungen/Durchschnitt/Ring/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{Q(R)}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \bigcap_{ {\mathfrak m} \text{ maximal } } R_{\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei der Durchschnitt über alle
\definitionsverweis {maximale Ideale}{}{}
läuft und in
\mathl{Q(R)}{} genommen wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei angenommen, $q$ gehöre zum Durchschnitt rechts. Für jedes maximale Ideal ${\mathfrak m}$ ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{R_{\mathfrak m}
}
{ \subset }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_{\mathfrak m}
}
{ \notin }{{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{\mathfrak m}
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ { \frac{ a_{\mathfrak m} }{ f_{\mathfrak m} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathdisp {(f_{\mathfrak m} :\, {\mathfrak m} \text{ maximal})} { . }
Dieses Ideal ist in keinem maximalen Ideal enthalten, also muss es
nach dem Lemma von Zorn
das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
sein. Es gibt also endlich viele maximale Ideale
\mathbed {{\mathfrak m}_i} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_1f_1 + \cdots + r_nf_n
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ = }{f_{ {\mathfrak m}_i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gesetzt wurde. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} {\frac{a_1}{f_1}
}
{ =} {\ldots
}
{ =} {\frac{a_n}{f_n}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} { q(r_1f_1 + \cdots + r_nf_n)
}
{ =} { qr_1f_1 + \cdots + qr_nf_n
}
{ =} { a_1r_1 + \cdots + a_nr_n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also gehört $q$ zu $R$.
{Kommutative Ringtheorie/Normal/Nenneraufnahme ist normal/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_S$ normal.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 22.24. }
\zwischenueberschrift{Diskrete Bewertungsringe}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionswort {diskreter Bewertungsring}{} $R$ ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} mit der Eigenschaft, dass es bis auf \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} genau ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} in $R$ gibt.
}
Wir wollen zeigen, dass zu einem Zahlbereich $R$ die Lokalisierung an einem jeden Primideal ein diskreter Bewertungsring ist.
\inputfaktbeweis
{Diskreter Bewertungsring/Erste Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist}
\faktfolgerung {ein
\definitionsverweis {lokaler}{}{,}
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
mit genau zwei
\definitionsverweis {Primidealen}{}{,}
nämlich $0$ und dem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ein diskreter Bewertungsring ist kein Körper. In einem Hauptidealbereich, der kein Körper ist, wird jedes maximale Ideal von einen Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen können nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. Nach Satz 19.1 ist ein Hauptidealbereich insbesondere ein Dedekindbereich, sodass es als weiteres Primideal nur noch das Nullideal gibt.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
$p$ heißt die Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{up^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $u$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
bezeichnet, die \definitionswort {Ordnung}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{ord} \, (f)}{} bezeichnet.
}
Die Ordnung ist also nichts anderes als der Exponent zum \zusatzklammer {bis auf Assoziiertheit} {} {} einzigen Primelement in der Primfaktorzerlegung. Sie hat folgende Eigenschaften.
{Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann hat die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N
} {f} {\operatorname{ord} \, (f)
} {,}
folgende Eigenschaften.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg)
}
{ = }{ \operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g)
}
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, (f) ,\, \operatorname{ord} \, (g) \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 22.26. }
Wir wollen eine wichtige Charakterisierung für diskrete Bewertungsringe beweisen, die insbesondere beinhaltet, dass ein normaler lokaler Integritätsbereich mit genau zwei Primidealen bereits ein diskreter Bewertungsring ist. Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/f nicht nilpotent/Existenz von Primidealen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ in $R$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die Menge der Ideale
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ {\mathfrak a} \text{ Ideal } \mid f^r \not\in {\mathfrak a} \text{ für alle } r \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enthält. Ferner ist sie induktiv geordnet
\zusatzklammer {bezüglich der Inklusion} {} {.}
Ist nämlich
\mathbed {{\mathfrak a}_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine total geordnete Teilmenge von $M$, so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von $f$ enthält.
Nach dem Lemma von Zorn
gibt es daher maximale Elemente in $M$.
Wir behaupten, dass ein solches maximales Element $\mathfrak p$ ein Primideal ist. Es sei dazu
\mathl{g,h \in R}{} und
\mathl{gh \in {\mathfrak p}}{,} und sei
\mathl{g,h \not\in {\mathfrak p}}{}
angenommen. Dann hat man echte Inklusionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak p} +(g) , {\mathfrak p} +(h)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Maximalität können die beiden Ideale rechts nicht zu $M$ gehören, und das bedeutet, dass es Exponenten
\mathl{r,s \in \N}{} gibt mit
\mathdisp {f^r \in {\mathfrak p} +(g) \text{ und } f^s \in {\mathfrak p} +(h)} { . }
Dann ergibt sich der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^rf^s
}
{ \in} { {\mathfrak p} + (gh)
}
{ \subseteq} { {\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Noethersch lokal nulldimensional/Potenz ist null/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass das
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ das einzige
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $R$ ist.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in $R$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
oder
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist. Es sei hierzu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine Einheit. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Angenommen, $f$ ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach
Lemma 22.15
ein Primideal ${\mathfrak p}$ in $R$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ergibt sich der Widerspruch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ \neq }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem
\mathl{f_1 , \ldots , f_k}{} von ${\mathfrak m}$ eine natürliche Zahl $m$ mit \mathkon { f_i^m=0 } { für alle } { i=1 , \ldots , k }{ .} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{km
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist ein beliebiges Element aus ${\mathfrak m}^n$ von der Gestalt
\mathdisp {{ \left( \sum_{i = 1}^k a_{i1} f_i \right) } { \left( \sum_{i = 1}^k a_{i2} f_i \right) } \cdots { \left( \sum_{i = 1}^k a_{in} f_i \right) }} { . }
Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen \mathkon { f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k} } { und } { \sum_{i=1}^k r_i = n }{ ,} sodass ein $f_i$ mit einem Exponenten
\mathl{\geq n/k = m}{} vorkommt. Daher ist das Produkt $0$.
\inputfaktbeweis
{Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit der Eigenschaft, dass es genau zwei
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
\mathl{0 \subset {\mathfrak m}}{} gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungfuenf{$R$ ist ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
}{$R$ ist ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}
}{$R$ ist
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}
}{$R$ ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}
}{$\mathfrak m$ ist ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}
}
}
{
$(1) \Rightarrow (2)$ folgt direkt aus der Definition 22.11.
$(2) \Rightarrow (3)$ folgt aus Satz 3.7.
$(3) \Rightarrow (4)$ folgt aus Satz 17.12.
$(4) \Rightarrow (5)$. Es sei
\mathbed {f \in {\mathfrak m}} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Dann ist
\mathl{R/(f)}{} ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal
\zusatzklammer {nämlich
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \tilde{ {\mathfrak m} }
}
{ = }{ {\mathfrak m} R/(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Daher gibt es nach
Lemma 22.16
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{ {\mathfrak m} }^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zurückübersetzt nach $R$ heißt das, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ \subseteq }{ (f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Wir wählen $n$ minimal mit den Eigenschaften
\mathdisp {{\mathfrak m}^n \subseteq (f) \text{ und } {\mathfrak m}^{n-1} \not\subseteq (f)} { . }
Wähle \mathkon { g \in {\mathfrak m}^{n-1} } { mit } { g \not\in (f) }{ } und betrachte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ \defeq} {\frac{f}{g}
}
{ \in} { Q(R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Das Inverse, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h^{-1}
}
{ = }{\frac{g}{f}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gehört nicht zu $R$, sonst wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $R$ nach Voraussetzung normal ist, ist $h^{-1}$ auch nicht
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$. Nach dem Modulkriterium
Lemma 17.7
für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak m}
}
{ \subset }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h^{-1} {\mathfrak m}
}
{ \not\subseteq} { {\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Nach Wahl von $g$ ist aber auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h^{-1} {\mathfrak m}
}
{ =} { \frac{g}{f} {\mathfrak m}
}
{ \subseteq} { \frac{ {\mathfrak m}^n }{f}
}
{ \subseteq} { R
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mathl{h^{-1} {\mathfrak m}}{} ein Ideal in $R$, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist
\mathl{h^{-1} {\mathfrak m} = R}{.} Das heißt einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits gilt für ein beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h^{-1}x
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{h (h^{-1}x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{(h)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (h)
}
{ = }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
$(5) \Rightarrow (1)$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (\pi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $\pi$ ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Es sei
\mathbed {f\in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {} keine Einheit. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \pi g_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $g_1$ eine Einheit oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_1
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im zweiten Fall ist wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_1
}
{ = }{ \pi g_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ \pi^2 g_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \pi^k u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer Einheit $u$ schreiben kann. Andernfalls könnte man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \pi^n g_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit beliebig großem $n$ schreiben. Nach
Lemma 22.16
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\pi^m)
}
{ = }{ {\mathfrak m}^m
}
{ \subseteq }{(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\pi^m
}
{ = }{ af
}
{ = }{ a \pi^{m+1}b
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Widerspruch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ = }{ ab \pi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es lässt sich also jede Nichteinheit $\neq 0$ als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist $R$ faktoriell. Für ein beliebiges Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_s)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ = }{ \pi^{n_i} u_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Einheiten $u_i$. Dann sieht man leicht, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (\pi^n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \min_{i}\{n_i\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
und sei ${\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathdisp {R_{\mathfrak m}} { }
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$ ist lokal nach Aufgabe 22.15, sodass es lediglich die beiden \definitionsverweis {Primideale}{}{} \mathkor {} {0} {und} {{\mathfrak m} R_{ {\mathfrak m} }} {} gibt. Ferner ist $R$ noethersch. Da $R$ \definitionsverweis {normal}{}{} ist, ist nach Satz 22.10 auch die Lokalisierung $R_{ {\mathfrak m} }$ normal. Wegen Satz 22.17 ist $R_{ {\mathfrak m} }$ ein diskreter Bewertungsring.
\inputbemerkung
{}
{
Korollar 22.18 besagt in Verbindung mit Satz 22.17, dass wenn man bei einem Dedekindbereich und spezieller einem Zahlbereich $R$ zur Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$ an einem maximalen Ideal ${\mathfrak m}$ übergeht, dass dort die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt.
}
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ der Durchschnitt von
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsringen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 22.9
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \bigcap_{\mathfrak m} R_{\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei ${\mathfrak m}$ durch alle maximalen Ideale von $R$ läuft. Nach
Korollar 22.18
sind die beteiligten Lokalisierungen $R_{\mathfrak m}$ allesamt diskrete Bewertungsringe.
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